公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €5 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0003.6% / 4n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 17 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 17 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 7%n = 17

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €20 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €20 000g = 3%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €3 500, €5 500。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 3 500CF₃ = 5 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €930。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €930YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 8 年后到期，售价为 €865。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 8P = €865

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €42.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 2.5%r_m = 7.5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €13，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €12 500。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €10 000？

F = €12 500p = €13v = €8利润 = €10 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €11，单位变动成本 €6，每年固定成本 €6 000。预算销量为 1 800 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €6 000p = €11v = €6预算 = 1 800

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3891 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·7 = 28

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.285 = €3 890.61

答案

PV = €3 890.61

2.货币的时间价值

答案: FV = 82498 €

普通年金系数

((1 + 0.07)¹⁷ − 1)/0.07 = 30.84

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·30.84·1.07 = €82 497.58

答案

FV = €82 497.58

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 83333 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 20 000/(0.09 − 0.03) = 333 333.33

NPV

NPV = 333 333.33 − 250 000 = €83 333.33

答案

NPV = €83 333.33

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 16.84 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

6 000·1.06² = 6 741.60

3 500·1.06¹ = 3 710.00

5 500·1.06⁰ = 5 500.00

TV = 15 951.60

MIRR

MIRR = (15 951.60/10 000)^1/3 − 1 = 16.84%

答案

MIRR = 16.84%

5.债券定价与收益率

答案: c = 6.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹⁰ = €508.35

票息

C = (930 − 508.35)/7.024 = €60.03

票面利率

c = 60.03/1000 = 6.003%

答案

c = 6.003%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.483 %

收益率方程

€865 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(9%) = €889.30, P(10%) = €839.95

YTM = 9.483%

答案

YTM = 9.483%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.542 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·11% + 0.1667·3%·(1 − 0.25) = 9.542%

答案

WACC = 9.542%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.903 %

市场价值

E = 1 000 000·€42.00 = €42 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.3·5% = 9%

权重

V = €62 000 000, E/V = 0.6774, D/V = 0.3226

WACC

WACC = 0.6774·9% + 0.3226·7%·(1 − 0.2) = 7.903%

答案

WACC = 7.903%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 4500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 13 − 8 = €5

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (12 500 + 10 000)/5 = 4 500

答案

Q = 4 500 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 33.33 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 6 000/5 = 1 200

安全边际

MS = (1 800 − 1 200)/1 800·100 = 33.33%

答案

MS = 33.33%

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