货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。
PV = €5 0004.8% / 4n = 3
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。
P = €25 0004.2% / 12N = 72
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000。它在 3 年内每年年末产生 €19 500，之后可以以 €12 500 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €50 000CF = €19 500S = €12 500n = 3r = 12%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €16 500, €12 500, €6 500。项目 B 需投入 €35 000，回报为 €10 000, €14 000, €18 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −30 000, 16 500, 12 500, 6 500B: −35 000, 10 000, 14 000, 18 500
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，8 年后到期。其到期收益率从 5% 变为 4%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 3%n = 8y1 = 5%y2 = 4%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €920
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 4.5%。税率为 28%。求 WACC。
E = €5 000 000Ps = €2 000 000D = €3 000 000re = 11%rp = 8%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.1。它计划采用 0.4 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 4%。求新资本结构下的股权资本成本 re。
βU = 1.1D/E = 0.4T = 25%rf = 3%rm − rf = 4%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €12，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €4 800。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？
F = €4 800p = €12v = €8利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €45，单位变动成本 €30，每年固定成本 €18 000。预算销量为 2 160 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €18 000p = €45v = €30预算 = 2 160
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 5769 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·3 = 12
终值
FV = 5 000·(1 + 0.012)12 = 5 000·1.154 = €5 769.47
答案
FV = €5 769.47
2.货币的时间价值
答案: A = 393.4 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·6 = 72
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.7776
A = 25 000·0.0035/(1 − 0.7776) = €393.41
答案
A = €393.41
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 5733 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
19 500·2.402 = 46 835.71
残值的现值
12 500/1.405 = 8 897.25
NPV
NPV = −50 000 + 46 835.71 + 8 897.25 = €5 732.96
答案
NPV = €5 732.96
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 7.128 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 10 000 − 16 500 = −6 500
ΔCF2 = 14 000 − 12 500 = 1 500
ΔCF3 = 18 500 − 6 500 = 12 000
差额的 IRR
NPVΔ(7%) = 30.97
NPVΔ(8%) = −206.52
r* = 7.128%
答案
r* = 7.128%
校核：在 7.128% 时两个 NPV 都是 €1 580.93。
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 61.94 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.05, N = 8
€30.00·(1 − 0.6768)/0.05 + €1 000·0.6768 = €193.90 + €676.84 = €870.74
按新收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.04, N = 8
€30.00·(1 − 0.7307)/0.04 + €1 000·0.7307 = €201.98 + €730.69 = €932.67
变化
ΔP = 932.67 − 870.74 = €61.94
答案
ΔP = €61.94
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.456 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€920 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数值求解
P(6%) = €944.18, P(7%) = €892.21
YTM = 6.456%
答案
YTM = 6.456%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.072 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 5 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €10 000 000
E/V = 0.5, Ps/V = 0.2, D/V = 0.3
WACC
WACC = 0.5·11% + 0.2·8% + 0.3·4.5%·(1 − 0.28) = 8.072%
答案
WACC = 8.072%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 8.72 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
有杠杆贝塔
βL = 1.1·(1 + 0.75·0.4) = 1.43
股权成本（CAPM）
re = 3% + 1.43·4% = 8.72%
答案
re = 8.72%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1700 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 12 − 8 = €4
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (4 800 + 2 000)/4 = 1 700
答案
Q = 1 700 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 44.44 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 18 000/15 = 1 200
安全边际
MS = (2 160 − 1 200)/2 160·100 = 44.44%
答案
MS = 44.44%
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