公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献
CM = p − v
盈亏平衡销量
QBE = FC/(p − v)
目标利润
Q = (FC + profit)/(p − v)
利润
π = (p − v)·Q − FC
安全边际
(Q − QBE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…11PV = ?€1 000€1 000€1 000€1 000

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 11 年。年利率为 7%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 7%n = 11
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…180€150 000AAAA6% / 12, I = ?

一笔 €150 000 的贷款在 15 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €150 0006% / 12N = 180
I = €
3.NPV 与 IRR中等
年0123…9−500 00036 000+2%+2%…r = 8%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €36 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C0 = €500 000CF1 = €36 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
r (%)NPVABr* = ?0

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €3 500, €2 000。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €5 500, €8 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 3 500, 2 000B: −15 000, 4 000, 5 500, 8 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 9 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 5.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 9y0 = 5.5%y1 = 7%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
年0123…9€1 120€40€40 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 120。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€2 000 000re​ = 13%债务€5 000 000rd​ = 7%T = 28%

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 28%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €5 000 000re = 13%rd = 7%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益2 000 000 × €19.50D0​ = €1.80g = 5%债务€11 700 000rd​ = 4%T = 25.8%

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €19.50；其股权账面价值为 €11 700 000。公司刚支付了每股 €1.80 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €11 700 000，税前成本为 4%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P0 = €19.50股权账面价值 = €11 700 000D0 = €1.80g = 5%D = €11 700 000rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
Q€收入总成本固定成本8000

一家公司以每件 €24 的价格销售 8 000 件。单位变动成本为 €12，固定成本为 €60 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 8 000p = €24v = €12F = €60 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
Q€收入总成本固定成本BE

某产品售价每件 €26，单位变动成本 €20，每年固定成本 €15 000。预算销量为 4 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €15 000p = €26v = €20预算 = 4 500
MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7499 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.4751)/0.07 = 7.499

现值

PV = 1 000·7.499 = €7 498.67

答案

PV = €7 498.67
2.货币的时间价值

答案: I = 77841 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.005, N = 180
A = 150 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−180) = €1 265.79

利息总额

I = N·A − P = 180·1266 − 150 000 = €77 841.34

答案

I = €77 841.34
3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 100000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 36 000/(0.08 − 0.02) = 600 000.00

NPV

NPV = 600 000.00 − 500 000 = €100 000.00

答案

NPV = €100 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.567 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 5 500 − 3 500 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000

差额的 IRR

NPVΔ(5%) = 92.32
NPVΔ(6%) = −69.08
r* = 5.567%

答案

r* = 5.567%

校核：在 5.567% 时两个 NPV 都是 €524.12。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −4.242 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.055, N = 9
€30.00·(1 − 0.6176)/0.055 + €1 000·0.6176 = €208.57 + €617.63 = €826.20

卖出价

C = €30.00, i = 0.07, N = 8
€30.00·(1 − 0.582)/0.07 + €1 000·0.582 = €179.14 + €582.01 = €761.15

持有期收益率

HPR = (30 + 761.15 − 826.20)/826.20 = −4.242%

答案

HPR = −4.242%
6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.495 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(2%) = €1 163.24, P(3%) = €1 077.86
YTM = 2.495%

答案

YTM = 2.495%
7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.314 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·13% + 0.7143·7%·(1 − 0.28) = 7.314%

答案

WACC = 7.314%
8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.99 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

股权成本

D1 = 1.8·1.05 = €1.89
re = 1.89/19.5 + 0.05 = 14.69%

市场价值

E = 2 000 000·€19.50 = €39 000 000
V = €50 700 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·14.69% + 0.2308·4%·(1 − 0.258) = 11.99%

答案

WACC = 11.99%
9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 2.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 8 000·(24 − 12) = €96 000

营业利润

Π = 96 000 − 60 000 = €36 000

DOL

DOL = 96 000/36 000 = 2.667

答案

DOL = 2.667
10.盈亏平衡分析

答案: MS = 44.44 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 15 000/6 = 2 500

安全边际

MS = (4 500 − 2 500)/4 500·100 = 44.44%

答案

MS = 44.44%

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