公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €10 000。求 13 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 6%t = 13

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0007.2% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€14 000, €14 000, €6 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 6 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €25 500, €21 000, €37 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 25 500CF₂ = 21 000CF₃ = 37 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €1 291。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €1 291YTM = 3.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 095。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 5P = €1 095

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 11%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €38.50；其股权账面价值为 €23 100 000。公司刚支付了每股 €2.70 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €23 100 000，税前成本为 5%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €38.50股权账面价值 = €23 100 000D₀ = €2.70g = 3%D = €23 100 000r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €35，单位变动成本 €15。每月固定成本为 €50 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？

F = €50 000p = €35v = €15利润 = €5 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €21，单位变动成本 €6，每年固定成本 €30 000。预算销量为 3 200 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €30 000p = €21v = €6预算 = 3 200

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 21815 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·13 = 0.78

e^0.78 = 2.181

终值

FV = 10 000·2.181 = €21 814.72

答案

FV = €21 814.72

2.货币的时间价值

答案: A = 371.6 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8063

A = 12 000·0.006/(1 − 0.8063) = €371.62

答案

A = €371.62

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1195 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 14 000/1.1 = 12 727.27

CF₂/(1 + 0.1)² = 14 000/1.21 = 11 570.25

CF₃/(1 + 0.1)³ = 6 000/1.331 = 4 507.89

相加

NPV = €−1 194.59

答案

NPV = €−1 194.59

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.5 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 2 784.00

NPV(30%) = −1 117.43

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·2 784.00/(2 784.00 − (−1 117.43)) = 28.57%

精确: NPV(28.5%) = 0 → IRR = 28.5%

答案

IRR = 28.5%

5.债券定价与收益率

答案: c = 6.999 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.035)⁻¹⁰ = €708.92

票息

C = (1291 − 708.92)/8.317 = €69.99

票面利率

c = 69.99/1000 = 6.999%

答案

c = 6.999%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.04 %

收益率方程

€1 095 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(1%) = €1 097.07, P(2%) = €1 047.13

YTM = 1.04%

答案

YTM = 1.04%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.411 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·11% + 0.4286·3.5%·(1 − 0.25) = 7.411%

答案

WACC = 7.411%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.695 %

股权成本

D₁ = 2.7·1.03 = €2.78

r_e = 2.781/38.5 + 0.03 = 10.22%

市场价值

E = 2 000 000·€38.50 = €77 000 000

V = €100 100 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·10.22% + 0.2308·5%·(1 − 0.28) = 8.695%

答案

WACC = 8.695%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2750 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 35 − 15 = €20

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (50 000 + 5 000)/20 = 2 750

答案

Q = 2 750 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 37.5 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 30 000/15 = 2 000

安全边际

MS = (3 200 − 2 000)/3 200·100 = 37.5%

答案

MS = 37.5%

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