货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4.8% 投资 €2 000，按季度复利。求 6 年后的投资价值 FV。
PV = €2 0004.8% / 4n = 6
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 10 年内每月月末存入 €250。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €2506% / 12N = 120
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €42 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €500 000CF1 = €42 000g = 1%r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 500, €36 500, €32 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 18 500CF2 = 36 500CF3 = 32 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 4%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 4%n = 11
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €5 000 000re = 10%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.8。它计划采用 1.5 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 7%。求新资本结构下的股权资本成本 re。
βU = 0.8D/E = 1.5T = 30%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €19 的价格销售 1 600 件。单位变动成本为 €15，固定成本为 €4 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 1 600p = €19v = €15F = €4 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €30 销售 5 000 件，单位变动成本为 €25，固定成本为每月 €20 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 5 000p = €30v = €25 → €26F = €20 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 2663 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·6 = 24
终值
FV = 2 000·(1 + 0.012)24 = 2 000·1.331 = €2 662.95
答案
FV = €2 662.95
2.货币的时间价值
答案: FV = 40970 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·10 = 120
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.819 − 1)/0.005 = €40 969.84
答案
FV = €40 969.84
你自己存入了 €30 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 100000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 42 000/(0.08 − 0.01) = 600 000.00
NPV
NPV = 600 000.00 − 500 000 = €100 000.00
答案
NPV = €100 000.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 30.8 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 621.30
NPV(35%) = −3 059.49
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·621.30/(621.30 − (−3 059.49)) = 30.84%
精确: NPV(30.8%) = 0 → IRR = 30.8%
答案
IRR = 30.8%
5.债券定价与收益率
答案: P = 911.7 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, i = 0.02, N = 22
票息的现值
€15.00·(1 − 0.6468)/0.02 = €264.87
面值的现值
€1 000·0.6468 = €646.84
价格
P = €911.71
答案
P = €911.71
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.442 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(6%) = €957.88, P(7%) = €918.00
YTM = 6.442%
答案
YTM = 6.442%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.153 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846
WACC
WACC = 0.6154·10% + 0.3846·3.5%·(1 − 0.258) = 7.153%
答案
WACC = 7.153%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 14.48 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
有杠杆贝塔
βL = 0.8·(1 + 0.7·1.5) = 1.64
股权成本（CAPM）
re = 3% + 1.64·7% = 14.48%
答案
re = 14.48%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 2.667
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 1 600·(19 − 15) = €6 400
营业利润
Π = 6 400 − 4 000 = €2 400
DOL
DOL = 6 400/2 400 = 2.667
答案
DOL = 2.667
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 6250 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 5 000·(30 − 25) − 20 000 = €5 000
新的单位边际贡献
30 − 26 = €4
保持相同利润所需的件数
Q = (20 000 + 5 000)/4 = 6 250
答案
Q = 6 250 件
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