公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献
CM = p − v
盈亏平衡销量
QBE = FC/(p − v)
目标利润
Q = (FC + profit)/(p − v)
利润
π = (p − v)·Q − FC
安全边际
(Q − QBE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123456PV = ?€50 000

你在 6 年后需要 €50 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0004.8% / 4n = 6
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…96€100€100€100FV = ?

你在 8 年内每月月末存入 €100。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1002.4% / 12N = 96
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
年0123−30 00014 0007 0007 000

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€14 000, €7 000, €7 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF0 = −30 000CF1 = 14 000CF2 = 7 000CF3 = 7 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
年0123456−200 00033 500+4%+4%+4%+4%+4%r = 8%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €33 500，之后每年增长 4%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C0 = €200 000CF1 = €33 500g = 4%n = 6r = 8%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 6% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 12y0 = 6%y1 = 6.5%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
年0123…8€1 110€30€30 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 110。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 8P = €1 110
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€5 000 000re​ = 8%债务€5 000 000rd​ = 4%T = 25%

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 4%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益1 000 000 × €28.00β = 1.5rf​ = 3%, rm​ = 7%债务20 000 × €960rd​ = 5%T = 21%

某公司有1 000 000 股、每股 €28.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.5rf = 3%rm = 7%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
Q€ABQ = ?

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €25。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €18 000，单位变动成本为 €22。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

FA = €15 000vA = €25FB = €18 000vB = €22
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
Q€收入总成本固定成本BE

某产品售价每件 €27，单位变动成本 €25，每年固定成本 €1 000。预算销量为 650 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €1 000p = €27v = €25预算 = 650
MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 37552 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012
N = 4·6 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.331 = €37 552.40

答案

PV = €37 552.40
2.货币的时间价值

答案: FV = 10572 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·8 = 96

存款的终值

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(1.211 − 1)/0.002 = €10 571.91

答案

FV = €10 571.91

你自己存入了 €9 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5088 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 14 000/1.07 = 13 084.11
CF2/(1 + 0.07)2 = 7 000/1.145 = 6 114.07
CF3/(1 + 0.07)3 = 7 000/1.225 = 5 714.09

相加

NPV = €−5 087.73

答案

NPV = €−5 087.73

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −30294 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))6 = 0.7974
PV = 33 500/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.7974) = 169 706.30

NPV

NPV = 169 706.30 − 200 000 = −€30 293.70

答案

NPV = −€30 293.70

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 1.942 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.06, N = 12
€45.00·(1 − 0.497)/0.06 + €1 000·0.497 = €377.27 + €496.97 = €874.24

卖出价

C = €45.00, i = 0.065, N = 11
€45.00·(1 − 0.5002)/0.065 + €1 000·0.5002 = €346.01 + €500.21 = €846.22

持有期收益率

HPR = (45 + 846.22 − 874.24)/874.24 = 1.942%

答案

HPR = 1.942%
6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.529 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€1 110 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(1%) = €1 153.03, P(2%) = €1 073.25
YTM = 1.529%

答案

YTM = 1.529%
7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8% + 0.5·4%·(1 − 0.25) = 5.5%

答案

WACC = 5.5%
8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.946 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 1 000 000·€28.00 = €28 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

re = 3% + 1.5·4% = 9%

权重

V = €47 200 000, E/V = 0.5932, D/V = 0.4068

WACC

WACC = 0.5932·9% + 0.4068·5%·(1 − 0.21) = 6.946%

答案

WACC = 6.946%
9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

15 000 + 25Q = 18 000 + 22Q

求 Q

Q = (18 000 − 15 000)/(25 − 22) = 1 000

答案

Q = 1 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 23.08 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 1 000/2 = 500

安全边际

MS = (650 − 500)/650·100 = 23.08%

答案

MS = 23.08%

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