公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €6 000g = 3%r = 6%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 27 年内每月月末存入 €50。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €505.4% / 12N = 324

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€34 000, €24 000, €31 000, €19 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 34 000CF₂ = 24 000CF₃ = 31 000CF₄ = 19 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €8 000, €11 000, €8 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 11 000CF₃ = 8 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，8 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 3%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 2%n = 8y₁ = 2.5%y₂ = 3%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 19 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 149。发行人可在 5 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 149赎回价格 = €1 090赎回时间 5 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 30%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.25D/E₂ = 1.25T = 30%r_f = 1.5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €24 的价格销售 5 000 件。单位变动成本为 €20，固定成本为 €10 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 5 000p = €24v = €20F = €10 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €13，单位变动成本 €8，每年固定成本 €10 000。预算销量为 3 200 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €10 000p = €13v = €8预算 = 3 200

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 200000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.06 − 0.03) = 6 000/0.03 = €200 000.00

答案

PV = €200 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 36481 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·27 = 324

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(4.283 − 1)/0.0045 = €36 481.38

答案

FV = €36 481.38

你自己存入了 €16 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 12012 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 34 000/1.1 = 30 909.09

CF₂/(1 + 0.1)² = 24 000/1.21 = 19 834.71

CF₃/(1 + 0.1)³ = 31 000/1.331 = 23 290.76

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 19 000/1.464 = 12 977.26

相加

NPV = €12 011.82

答案

NPV = €12 011.82

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 15.55 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

8 000·1.12² = 10 035.20

11 000·1.12¹ = 12 320.00

8 500·1.12⁰ = 8 500.00

TV = 30 855.20

MIRR

MIRR = (30 855.20/20 000)^1/3 − 1 = 15.55%

答案

MIRR = 15.55%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −34.35 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.025, N = 8

€20.00·(1 − 0.8207)/0.025 + €1 000·0.8207 = €143.40 + €820.75 = €964.15

按新收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.03, N = 8

€20.00·(1 − 0.7894)/0.03 + €1 000·0.7894 = €140.39 + €789.41 = €929.80

变化

ΔP = 929.80 − 964.15 = −€34.35

答案

ΔP = −€34.35

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.939 %

收益率方程

1149 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

数值求解

y = 6%: €1 193.62

y = 7%: €1 146.17

YTC = 6.939%

答案

YTC = 6.939%

到期收益率为 7.503%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.198 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714

WACC

WACC = 0.4286·11% + 0.5714·3.5%·(1 − 0.258) = 6.198%

答案

WACC = 6.198%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 16.02 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.3/(1 + 0.7·0.25) = 1.106

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.106·(1 + 0.7·1.25) = 2.074

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 2.074·7% = 16.02%

答案

r_e = 16.02%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 2

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 5 000·(24 − 20) = €20 000

营业利润

Π = 20 000 − 10 000 = €10 000

DOL

DOL = 20 000/10 000 = 2

答案

DOL = 2

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 37.5 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 10 000/5 = 2 000

安全边际

MS = (3 200 − 2 000)/3 200·100 = 37.5%

答案

MS = 37.5%

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