货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 8 年后需要 €50 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €50 0002% / 12n = 8
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €250 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。
P = €250 0003% / 12N = 300
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000。它在 3 年内每年年末产生 €17 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €50 000CF = €17 500S = €10 000n = 3r = 12%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €4 500, €3 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 4 500CF3 = 3 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 6%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 6%n = 5
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €975，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 7.1 年。如果收益率下降 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €975y = 3%D = 7.1Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。求 WACC。
D/E = 0.6re = 10%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €5 000 000，股权资本成本为 12%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 9 年），每张交易价格为 €964。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €5 000 000re = 12%债券: 4 000 × €964票面利率 = 4%n = 9T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €33，单位变动成本 €25。每月固定成本为 €20 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €20 000p = €33v = €25利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €50，单位变动成本 €45，每年固定成本 €10 000。预算销量为 3 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €10 000p = €50v = €45预算 = 3 000
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 42613 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·8 = 96
现值
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.173 = €42 612.86
答案
PV = €42 612.86
2.货币的时间价值
答案: A = 1186 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·25 = 300
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.4728
A = 250 000·0.0025/(1 − 0.4728) = €1 185.53
答案
A = €1 185.53
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −850.2 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
17 500·2.402 = 42 032.05
残值的现值
10 000/1.405 = 7 117.80
NPV
NPV = −50 000 + 42 032.05 + 7 117.80 = −€850.15
答案
NPV = −€850.15
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 9.913 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 914.59
NPV(10%) = −15.03
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·914.59/(914.59 − (−15.03)) = 9.919%
精确: NPV(9.913%) = 0 → IRR = 9.913%
答案
IRR = 9.913%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1043 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €35.00, i = 0.03, N = 10
票息的现值
€35.00·(1 − 0.7441)/0.03 = €298.56
面值的现值
€1 000·0.7441 = €744.09
价格
P = €1 042.65
答案
P = €1 042.65
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: P = 1025 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 7.1/1.03 = 6.893
估计的价格变化
%ΔP ≈ −6.893·(−0.0075) = 5.17%
P ≈ 975·(1 + 0.0517) = €1 025.41
答案
P = €1 025.41
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.583 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625
D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375
WACC
WACC = 0.625·10% + 0.375·4.5%·(1 − 0.21) = 7.583%
答案
WACC = 7.583%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.243 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
964 = 40·(1 − (1 + y)−9)/y + 1000/(1 + y)9
y = 4.495%
市场价值
D = 4 000·€964 = €3 856 000
V = €8 856 000, E/V = 0.5646, D/V = 0.4354
WACC
WACC = 0.5646·12% + 0.4354·4.495%·(1 − 0.25) = 8.243%
答案
WACC = 8.243%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 33 − 25 = €8
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (20 000 + 12 000)/8 = 4 000
答案
Q = 4 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 33.33 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 10 000/5 = 2 000
安全边际
MS = (3 000 − 2 000)/3 000·100 = 33.33%
答案
MS = 33.33%
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