货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 4 年后需要 €50 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €50 0006% / 4n = 4
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 7 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €25 0006% / 12N = 84
I = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €5 000, €5 500, €7 500, €8 500。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 5 500CF3 = 7 500CF4 = 8 500
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €27 000, €30 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 27 000CF2 = 30 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 3.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 12y1 = 5.5%y2 = 3.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 3 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4%，税率为 20%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 4%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 25.8%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 1.4D/E1 = 0.25D/E2 = 0.6T = 25.8%rf = 2.5%rm − rf = 6%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €23，单位变动成本 €20。每月固定成本为 €15 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €15 000p = €23v = €20利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €33，单位变动成本 €18，每年固定成本 €37 500。预算销量为 3 750 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €37 500p = €33v = €18预算 = 3 750
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 39402 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·4 = 16
现值
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.269 = €39 401.55
答案
PV = €39 401.55
2.货币的时间价值
答案: I = 5678 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.005, N = 84
A = 25 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−84) = €365.21
利息总额
I = N·A − P = 84·365.2 − 25 000 = €5 677.96
答案
I = €5 677.96
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.539 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 5 000/1.05 = 4 761.90 → Σ = 4 761.90
年份 2: 5 500/1.103 = 4 988.66 → Σ = 9 750.57
年份 3: 7 500/1.158 = 6 478.78 → Σ = 16 229.35
年份 4: 8 500/1.216 = 6 992.97 → Σ = 23 222.32
最后一年的分数
DPB = 3 + 3 770.65/6 992.97 = 3.539
答案
DPB = 3.539 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.235 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 9.638 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 3 378.68
NPV(10%) = −247.93
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·3 378.68/(3 378.68 − (−247.93)) = 9.658%
精确: NPV(9.638%) = 0 → IRR = 9.638%
答案
IRR = 9.638%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 182.8 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.055, N = 12
€45.00·(1 − 0.526)/0.055 + €1 000·0.526 = €387.83 + €525.98 = €913.81
按新收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.035, N = 12
€45.00·(1 − 0.6618)/0.035 + €1 000·0.6618 = €434.85 + €661.78 = €1 096.63
变化
ΔP = 1 096.63 − 913.81 = €182.82
答案
ΔP = €182.82
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.405 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(5%) = €945.54, P(6%) = €919.81
YTM = 5.405%
答案
YTM = 5.405%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.769 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846
WACC
WACC = 0.6154·9% + 0.3846·4%·(1 − 0.2) = 6.769%
答案
WACC = 6.769%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 12.74 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 1.4/(1 + 0.742·0.25) = 1.181
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 1.181·(1 + 0.742·0.6) = 1.707
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 1.707·6% = 12.74%
答案
re = 12.74%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 7000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 23 − 20 = €3
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (15 000 + 6 000)/3 = 7 000
答案
Q = 7 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 33.33 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 37 500/15 = 2 500
安全边际
MS = (3 750 − 2 500)/3 750·100 = 33.33%
答案
MS = 33.33%
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