公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €10 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0002% / 4n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €6 000，共 21 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 21 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €6 000i = 5%n = 21

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €13 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €13 000g = 4%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 500, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 15 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 13 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €1 052。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 13P = €1 052YTM = 3.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 084。发行人可在 5 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 084赎回价格 = €1 070赎回时间 5 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €19.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 7.5%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €14，单位变动成本 €6。每月固定成本为 €6 400。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？

F = €6 400p = €14v = €6利润 = €5 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €31 销售 3 000 件，单位变动成本为 €25，固定成本为 €12 000。如果销量增加 12%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 3 000p = €31v = €25F = €12 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 9419 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005

N = 4·3 = 12

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.062 = €9 419.05

答案

PV = €9 419.05

2.货币的时间价值

答案: FV = 225031 €

普通年金系数

((1 + 0.05)²¹ − 1)/0.05 = 35.72

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 6 000·35.72·1.05 = €225 031.29

答案

FV = €225 031.29

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −37500 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 13 000/(0.12 − 0.04) = 162 500.00

NPV

NPV = 162 500.00 − 200 000 = −€37 500.00

答案

NPV = −€37 500.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 0.00

NPV(25%) = −1 400.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·0.00/(0.00 − (−1 400.00)) = 20%

精确: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%

答案

IRR = 20%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.005 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.035)⁻¹³ = €639.40

票息

C = (1052 − 639.40)/10.3 = €40.05

票面利率

c = 40.05/1000 = 4.005%

答案

c = 4.005%

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.23 %

收益率方程

1084 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1070/(1 + y)⁵

数值求解

y = 6%: €1 094.43

y = 7%: €1 049.91

YTC = 6.23%

答案

YTC = 6.23%

到期收益率为 5.998%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.177 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·13% + 0.6667·3.5%·(1 − 0.21) = 6.177%

答案

WACC = 6.177%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.521 %

市场价值

E = 4 000 000·€19.50 = €78 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·5.5% = 10.25%

权重

V = €87 600 000, E/V = 0.8904, D/V = 0.1096

WACC

WACC = 0.8904·10.25% + 0.1096·4.5%·(1 − 0.2) = 9.521%

答案

WACC = 9.521%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1425 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 14 − 6 = €8

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (6 400 + 5 000)/8 = 1 425

答案

Q = 1 425 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 36 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 3 000·6 = €18 000

Π = 18 000 − 12 000 = €6 000

DOL

DOL = 18 000/6 000 = 3

利润的变化

%ΔΠ = 3·(+12%) = +36%

答案

%ΔΠ = +36%

校核：新利润 = 3 360·6 − 12 000 = €8 160.00。

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