公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €1 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0003.6% / 12n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0002.4% / 12N = 240

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €4 000, €6 500, €4 500, €7 000, €9 000。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 500CF₃ = 4 500CF₄ = 7 000CF₅ = 9 000

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €4 000, €2 500。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €6 500, €8 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 500, 8 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 5.5%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，6 年后到期。其售价为 €974。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 6P = €974

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €60.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €30 000，单位变动成本为 €15。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €40 000，单位变动成本为 €10。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €30 000v_A = €15F_B = €40 000v_B = €10

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €27，单位变动成本 €15，每年固定成本 €48 000。预算销量为 5 600 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €48 000p = €27v = €15预算 = 5 600

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1197 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 1 000·(1 + 0.003)⁶⁰ = 1 000·1.197 = €1 196.89

答案

FV = €1 196.89

2.货币的时间价值

答案: A = 1050 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.6191

A = 200 000·0.002/(1 − 0.6191) = €1 050.09

答案

A = €1 050.09

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.328 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 4 000/1.08 = 3 703.70 → Σ = 3 703.70

年份 2: 6 500/1.166 = 5 572.70 → Σ = 9 276.41

年份 3: 4 500/1.26 = 3 572.25 → Σ = 12 848.65

年份 4: 7 000/1.36 = 5 145.21 → Σ = 17 993.86

年份 5: 9 000/1.469 = 6 125.25 → Σ = 24 119.11

最后一年的分数

DPB = 4 + 2 006.14/6 125.25 = 4.328

答案

DPB = 4.328 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.714 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.826 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 500 − 4 000 = 2 500

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 120.54

NPV_Δ(9%) = −24.94

r* = 8.826%

答案

r* = 8.826%

校核：在 8.826% 时两个 NPV 都是 €371.17。

5.债券定价与收益率

答案: P = 959.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.0275, N = 22

票息的现值

€25.00·(1 − 0.5506)/0.0275 = €408.59

面值的现值

€1 000·0.5506 = €550.55

价格

P = €959.14

答案

P = €959.14

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.007 %

每期

C = €22.50, N = 12

数值求解

i = 2.504% 每半年

YTM

YTM = 2·2.504% = 5.007%

答案

YTM = 5.007%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.714 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·13% + 0.4286·4%·(1 − 0.25) = 8.714%

答案

WACC = 8.714%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.189 %

市场价值

E = 2 000 000·€60.00 = €120 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.1·6.5% = 8.65%

权重

V = €130 200 000, E/V = 0.9217, D/V = 0.07834

WACC

WACC = 0.9217·8.65% + 0.07834·3.5%·(1 − 0.21) = 8.189%

答案

WACC = 8.189%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

30 000 + 15Q = 40 000 + 10Q

求 Q

Q = (40 000 − 30 000)/(15 − 10) = 2 000

答案

Q = 2 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 28.57 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 48 000/12 = 4 000

安全边际

MS = (5 600 − 4 000)/5 600·100 = 28.57%

答案

MS = 28.57%

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