公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 13 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 5%n = 13

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €20 0003.6% / 12N = 72

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 8 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €1 500n = 8r = 8%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 500, €14 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 500CF₂ = 14 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 6%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €945。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €945

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.25 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.25T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €65，单位变动成本 €45。每月固定成本为 €10 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？

F = €10 000p = €65v = €45利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €23，变动成本 €15；产品 B 售价 €42，变动成本 €30。两者按固定组合销售，每销售 2 件 A 就销售 3 件 B。固定成本为每月 €26 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €23, v_A = €15p_B = €42, v_B = €30A : B = 2 : 3F = €26 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 75149 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5303)/0.05 = 9.394

现值

PV = 8 000·9.394 = €75 148.58

答案

PV = €75 148.58

2.货币的时间价值

答案: I = 2268 €

月供

i = 0.003, N = 72

A = 20 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻⁷²) = €309.27

利息总额

I = N·A − P = 72·309.3 − 20 000 = €2 267.57

答案

I = €2 267.57

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 6720 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁸)/0.08 = 5.747

年化购置价格

30 000/5.747 = 5 220.44

EAC

EAC = 5 220.44 + 1 500 = €6 720.44

答案

EAC = €6 720.44

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.555 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 555.56

NPV(10%) = −1 157.02

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·555.56/(555.56 − (−1 157.02)) = 6.622%

精确: NPV(6.555%) = 0 → IRR = 6.555%

答案

IRR = 6.555%

5.债券定价与收益率

答案: P = 874.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.03, N = 16

票息的现值

€20.00·(1 − 0.6232)/0.03 = €251.22

面值的现值

€1 000·0.6232 = €623.17

价格

P = €874.39

答案

P = €874.39

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.06 %

收益率方程

€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €946.54, P(7%) = €921.27

YTM = 6.06%

答案

YTM = 6.06%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €17 000 000, E/V = 0.7059, D/V = 0.2941

WACC

WACC = 0.7059·10% + 0.2941·3.5%·(1 − 0.28) = 7.8%

答案

WACC = 7.8%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.345 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.7·0.25) = 1.058

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.058·6% = 8.345%

答案

r_e = 8.345%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 800 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 65 − 45 = €20

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (10 000 + 6 000)/20 = 800

答案

Q = 800 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 2500 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €8, cm_B = €12

加权边际贡献

(2·8 + 3·12)/5 = €10.40

盈亏平衡件数

Q = 26 000/10.4 = 2 500

A: 1 000, B: 1 500

答案

Q = 2 500 件

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