公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €12 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0003.6% / 12n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 18 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 7.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0007.2% / 12N = 216

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 5 年内每年年末产生 €6 500，之后可以以 €4 500 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €6 500S = €4 500n = 5r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €10 500, €11 000, €11 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 11 000CF₃ = 11 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 8%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €950

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 7%，税率为 25%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €34.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 4%r_m = 8.5%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €17 的价格销售 630 件。单位变动成本为 €15，固定成本为 €1 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 630p = €17v = €15F = €1 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €16 销售 5 000 件，单位变动成本为 €6，固定成本为每月 €40 000。单位变动成本上涨 €2，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 5 000p = €16v = €6 → €8F = €40 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 14363 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 12 000·(1 + 0.003)⁶⁰ = 12 000·1.197 = €14 362.74

答案

FV = €14 362.74

2.货币的时间价值

答案: A = 170.4 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·18 = 216

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.006/(3.641 − 1) = €170.42

答案

A = €170.42

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2566 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

6 500·3.791 = 24 640.11

残值的现值

4 500/1.611 = 2 794.15

NPV

NPV = −30 000 + 24 640.11 + 2 794.15 = −€2 565.74

答案

NPV = −€2 565.74

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 11.29 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

10 500·1.06² = 11 797.80

11 000·1.06¹ = 11 660.00

11 000·1.06⁰ = 11 000.00

TV = 34 457.80

MIRR

MIRR = (34 457.80/25 000)^1/3 − 1 = 11.29%

答案

MIRR = 11.29%

5.债券定价与收益率

答案: P = 947.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.04, N = 14

票息的现值

€35.00·(1 − 0.5775)/0.04 = €369.71

面值的现值

€1 000·0.5775 = €577.48

价格

P = €947.18

答案

P = €947.18

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.902 %

收益率方程

€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €973.27, P(7%) = €947.51

YTM = 6.902%

答案

YTM = 6.902%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.45 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·8% + 0.2·7%·(1 − 0.25) = 7.45%

答案

WACC = 7.45%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.041 %

市场价值

E = 1 000 000·€34.00 = €34 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.8·4.5% = 7.6%

权重

V = €39 000 000, E/V = 0.8718, D/V = 0.1282

WACC

WACC = 0.8718·7.6% + 0.1282·4.5%·(1 − 0.28) = 7.041%

答案

WACC = 7.041%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 4.846

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 630·(17 − 15) = €1 260

营业利润

Π = 1 260 − 1 000 = €260

DOL

DOL = 1 260/260 = 4.846

答案

DOL = 4.846

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 6250 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

当前利润

Π = 5 000·(16 − 6) − 40 000 = €10 000

新的单位边际贡献

16 − 8 = €8

保持相同利润所需的件数

Q = (40 000 + 10 000)/8 = 6 250

答案

Q = 6 250 件

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