公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0005% / 12n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0007.2% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €10 000, €15 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 15 000CF₂ = 10 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 500, €24 500, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 18 500CF₂ = 24 500CF₃ = 18 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3.5%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 6 年后到期，售价为 €885。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6P = €885

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 11%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1。它计划采用 0.4 的负债权益比。税率为 20%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1D/E = 0.4T = 20%r_f = 2.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €10。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €19 000，单位变动成本为 €5。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €15 000v_A = €10F_B = €19 000v_B = €5

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €20 销售 1 880 件，单位变动成本为 €12，固定成本为每月 €12 000。单位变动成本上涨 €4，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 1 880p = €20v = €12 → €16F = €12 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6382 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·9 = 108

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.567 = €6 382.25

答案

PV = €6 382.25

2.货币的时间价值

答案: A = 397.9 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.6984

A = 20 000·0.006/(1 − 0.6984) = €397.91

答案

A = €397.91

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 467.7 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 15 000/1.15 = 13 043.48

CF₂/(1 + 0.15)² = 10 000/1.322 = 7 561.44

CF₃/(1 + 0.15)³ = 15 000/1.521 = 9 862.74

相加

NPV = €467.66

答案

NPV = €467.66

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 11.09 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 965.44

NPV(15%) = −3 223.47

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·965.44/(965.44 − (−3 223.47)) = 11.15%

精确: NPV(11.09%) = 0 → IRR = 11.09%

答案

IRR = 11.09%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1099 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0175, N = 6

票息的现值

€35.00·(1 − 0.9011)/0.0175 = €197.71

面值的现值

€1 000·0.9011 = €901.14

价格

P = €1 098.86

答案

P = €1 098.86

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.446 %

收益率方程

€885 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(7%) = €904.67, P(8%) = €861.31

YTM = 7.446%

答案

YTM = 7.446%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.053 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.3333·3%·(1 − 0.28) = 8.053%

答案

WACC = 8.053%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.1 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1·(1 + 0.8·0.4) = 1.32

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.32·5% = 9.1%

答案

r_e = 9.1%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 800 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

15 000 + 10Q = 19 000 + 5Q

求 Q

Q = (19 000 − 15 000)/(10 − 5) = 800

答案

Q = 800 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 3760 件

当前利润

Π = 1 880·(20 − 12) − 12 000 = €3 040

新的单位边际贡献

20 − 16 = €4

保持相同利润所需的件数

Q = (12 000 + 3 040)/4 = 3 760

答案

Q = 3 760 件

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