公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 16%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 16%m = 4

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 30 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0002.4% / 12N = 360

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€36 000, €26 000, €22 000, €16 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 26 000CF₃ = 22 000CF₄ = 16 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 000, €7 500, €4 500。项目 B 需投入 €22 000，回报为 €6 000, €8 500, €11 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −20 000, 11 000, 7 500, 4 500B: −22 000, 6 000, 8 500, 11 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，7 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7y₁ = 5.5%y₂ = 5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 19 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 103。发行人可在 4 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 103赎回价格 = €1 080赎回时间 4 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 11%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 28%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.6T = 28%r_f = 3.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €29，单位变动成本为 €25。固定成本为每月 €8 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 500？

p = €29v = €25F = €8 000T = 25%税后利润 = €1 500

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €11，变动成本 €5；产品 B 售价 €30，变动成本 €20。两者按固定组合销售，每销售 4 件 A 就销售 1 件 B。固定成本为每月 €17 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €11, v_A = €5p_B = €30, v_B = €20A : B = 4 : 1F = €17 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 16.99 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.16/4 = 0.04

复利一年

EAR = (1 + 0.04)⁴ − 1 = 1.17 − 1 = 16.99%

答案

EAR = 16.99%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 974.9 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·30 = 360

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4871

A = 250 000·0.002/(1 − 0.4871) = €974.85

答案

A = €974.85

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 8234 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 36 000/1.09 = 33 027.52

CF₂/(1 + 0.09)² = 26 000/1.188 = 21 883.68

CF₃/(1 + 0.09)³ = 22 000/1.295 = 16 988.04

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 16 000/1.412 = 11 334.80

相加

NPV = €8 234.04

答案

NPV = €8 234.04

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 6.366 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 6 000 − 11 000 = −5 000

ΔCF₂ = 8 500 − 7 500 = 1 000

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

差额的 IRR

NPV_Δ(6%) = 50.35

NPV_Δ(7%) = −85.37

r* = 6.366%

答案

r* = 6.366%

校核：在 6.366% 时两个 NPV 都是 €710.17。

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 27.38 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.055, N = 7

€40.00·(1 − 0.6874)/0.055 + €1 000·0.6874 = €227.32 + €687.44 = €914.76

按新收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.05, N = 7

€40.00·(1 − 0.7107)/0.05 + €1 000·0.7107 = €231.45 + €710.68 = €942.14

变化

ΔP = 942.14 − 914.76 = €27.38

答案

ΔP = €27.38

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.782 %

收益率方程

1103 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

数值求解

y = 6%: €1 132.67

y = 7%: €1 094.90

YTC = 6.782%

答案

YTC = 6.782%

到期收益率为 7.003%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.571 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·11% + 0.4286·4%·(1 − 0.25) = 7.571%

答案

WACC = 7.571%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.944 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.72·0.6) = 1.289

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.289·5% = 9.944%

答案

r_e = 9.944%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

1 500/(1 − 0.25) = €2 000

所需销量

Q = (8 000 + 2 000)/4 = 2 500

答案

Q = 2 500 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 2500 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €6, cm_B = €10

加权边际贡献

(4·6 + 1·10)/5 = €6.80

盈亏平衡件数

Q = 17 000/6.8 = 2 500

A: 2 000, B: 500

答案

Q = 2 500 件

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