货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 9 年后需要 €15 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €15 0002% / 12n = 9
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €20 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €20 0002.4% / 12N = 36
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €30 000，在 5 年内每年年末回报 €11 000。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 8%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 11 000CF3 = 11 000CF4 = 11 000CF5 = 11 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €20 500, €16 000, €9 500。项目 B 需投入 €45 000，回报为 €11 500, €17 500, €23 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −40 000, 20 500, 16 000, 9 500B: −45 000, 11 500, 17 500, 23 500
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 3%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 3%n = 7
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 5 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 5P = €925
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 8.6%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.8re = 8.6%rf = 3%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €59.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。
β = 1.2rf = 2%rm = 7.5%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €10 000，单位变动成本为 €15。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €34 000，单位变动成本为 €9。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €10 000vA = €15FB = €34 000vB = €9
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €18，变动成本 €10；产品 B 售价 €30，变动成本 €20。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €18 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。
pA = €18, vA = €10pB = €30, vB = €20A : B = 5 : 2F = €18 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 12531 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·9 = 108
现值
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.197 = €12 530.93
答案
PV = €12 530.93
2.货币的时间价值
答案: A = 576.4 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·3 = 36
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.9306
A = 20 000·0.002/(1 − 0.9306) = €576.35
答案
A = €576.35
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.204 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 11 000/1.08 = 10 185.19 → Σ = 10 185.19
年份 2: 11 000/1.166 = 9 430.73 → Σ = 19 615.91
年份 3: 11 000/1.26 = 8 732.15 → Σ = 28 348.07
年份 4: 11 000/1.36 = 8 085.33 → Σ = 36 433.40
最后一年的分数
DPB = 3 + 1 651.93/8 085.33 = 3.204
答案
DPB = 3.204 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.727 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 4.599 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 11 500 − 20 500 = −9 000
ΔCF2 = 17 500 − 16 000 = 1 500
ΔCF3 = 23 500 − 9 500 = 14 000
差额的 IRR
NPVΔ(4%) = 178.94
NPVΔ(5%) = −117.16
r* = 4.599%
答案
r* = 4.599%
校核：在 4.599% 时两个 NPV 都是 €2 523.68。
5.债券定价与收益率
答案: P = 1094 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €22.50, i = 0.015, N = 14
票息的现值
€22.50·(1 − 0.8118)/0.015 = €282.23
面值的现值
€1 000·0.8118 = €811.85
价格
P = €1 094.08
答案
P = €1 094.08
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 9.977 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(9%) = €961.10, P(10%) = €924.18
YTM = 9.977%
答案
YTM = 9.977%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 10 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (8.6% − 3%)/0.8 = 7%
市场回报
rm = 3% + 7% = 10%
答案
rm = 10%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.493 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€59.00 = €295 000 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.2·5.5% = 8.6%
权重
V = €304 600 000, E/V = 0.9685, D/V = 0.03152
WACC
WACC = 0.9685·8.6% + 0.03152·7%·(1 − 0.258) = 8.493%
答案
WACC = 8.493%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
10 000 + 15Q = 34 000 + 9Q
求 Q
Q = (34 000 − 10 000)/(15 − 9) = 4 000
答案
Q = 4 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 2100 件
有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。
边际贡献
cmA = €8, cmB = €10
加权边际贡献
(5·8 + 2·10)/7 = €8.57
盈亏平衡件数
Q = 18 000/8.571 = 2 100
A: 1 500, B: 600
答案
Q = 2 100 件
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