公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €2 000。求 17 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 8%t = 17

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 3 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0004.8% / 12N = 240k = 36

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €28 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 3%r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €20 500, €12 500, €24 000, €14 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 20 500CF₂ = 12 500CF₃ = 24 000CF₄ = 14 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 8%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 18 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 146。发行人可在 5 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 146赎回价格 = €1 090赎回时间 5 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.8。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.8D/E = 0.6T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €50，单位变动成本 €30。每月固定成本为 €100 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？

F = €100 000p = €50v = €30利润 = €5 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €18，变动成本 €15；产品 B 售价 €20，变动成本 €10。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €7 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €18, v_A = €15p_B = €20, v_B = €10A : B = 5 : 2F = €7 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 7792 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·17 = 1.36

e^1.36 = 3.896

终值

FV = 2 000·3.896 = €7 792.39

答案

FV = €7 792.39

2.货币的时间价值

答案: B = 180762 €

月供

i = 0.004, N = 240

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻²⁴⁰) = €1 297.91

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 36 = 204

B = 1298·(1 − (1 + 0.004)⁻²⁰⁴)/0.004 = €180 761.51

答案

B = €180 761.51

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −100000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 28 000/(0.1 − 0.03) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

答案

NPV = −€100 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 21.04 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

20 500·1.12³ = 28 801.02

12 500·1.12² = 15 680.00

24 000·1.12¹ = 26 880.00

14 500·1.12⁰ = 14 500.00

TV = 85 861.02

MIRR

MIRR = (85 861.02/40 000)^1/4 − 1 = 21.04%

答案

MIRR = 21.04%

5.债券定价与收益率

答案: P = 683.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.04, N = 18

票息的现值

€15.00·(1 − 0.4936)/0.04 = €189.89

面值的现值

€1 000·0.4936 = €493.63

价格

P = €683.52

答案

P = €683.52

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 7.004 %

收益率方程

1146 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

数值求解

y = 7%: €1 146.17

y = 8%: €1 101.18

YTC = 7.004%

答案

YTC = 7.004%

到期收益率为 7.496%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.79 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·13% + 0.1111·3%·(1 − 0.3) = 11.79%

答案

WACC = 11.79%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.96 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.8·(1 + 0.75·0.6) = 1.16

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.16·6% = 9.96%

答案

r_e = 9.96%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 5250 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 50 − 30 = €20

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (100 000 + 5 000)/20 = 5 250

答案

Q = 5 250 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 1400 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €3, cm_B = €10

加权边际贡献

(5·3 + 2·10)/7 = €5.00

盈亏平衡件数

Q = 7 000/5 = 1 400

A: 1 000, B: 400

答案

Q = 1 400 件

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