公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €1 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0003.6% / 4n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0003% / 12N = 72

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €9 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 3%r = 11%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €18 000, €13 500, €22 000, €18 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 13 500CF₃ = 22 000CF₄ = 18 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 8%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 8 年后到期，售价为 €890。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 8P = €890

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 8.75%，税前债务成本为 5%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €3 000 000WACC = 8.75%r_d = 5%T = 30%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €51.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1%r_m = 7.5%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €11，单位变动成本为 €6。固定成本为每月 €7 500，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 500？

p = €11v = €6F = €7 500T = 20%税后利润 = €1 500

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €8，单位变动成本 €4，每年固定成本 €2 000。预算销量为 700 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €2 000p = €8v = €4预算 = 700

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1381 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·9 = 36

终值

FV = 1 000·(1 + 0.009)³⁶ = 1 000·1.381 = €1 380.64

答案

FV = €1 380.64

2.货币的时间价值

答案: A = 121.5 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 8 000·0.0025/(1 − 0.8355) = €121.55

答案

A = €121.55

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 12500 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 9 000/(0.11 − 0.03) = 112 500.00

NPV

NPV = 112 500.00 − 100 000 = €12 500.00

答案

NPV = €12 500.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 19.84 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

18 000·1.1³ = 23 958.00

13 500·1.1² = 16 335.00

22 000·1.1¹ = 24 200.00

18 000·1.1⁰ = 18 000.00

TV = 82 493.00

MIRR

MIRR = (82 493.00/40 000)^1/4 − 1 = 19.84%

答案

MIRR = 19.84%

5.债券定价与收益率

答案: P = 767 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.04, N = 16

票息的现值

€20.00·(1 − 0.5339)/0.04 = €233.05

面值的现值

€1 000·0.5339 = €533.91

价格

P = €766.95

答案

P = €766.95

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.986 %

收益率方程

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(8%) = €942.53, P(9%) = €889.30

YTM = 8.986%

答案

YTM = 8.986%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC 中的债务部分

0.5·5%·(1 − 0.3) = 1.75%

股权成本

r_e = (8.75% − 1.75%)/0.5 = 14%

答案

r_e = 14%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.795 %

市场价值

E = 1 000 000·€51.00 = €51 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.9·6.5% = 6.85%

权重

V = €91 800 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·6.85% + 0.4444·3%·(1 − 0.258) = 4.795%

答案

WACC = 4.795%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1875 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

1 500/(1 − 0.2) = €1 875

所需销量

Q = (7 500 + 1 875)/5 = 1 875

答案

Q = 1 875 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 28.57 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 2 000/4 = 500

安全边际

MS = (700 − 500)/700·100 = 28.57%

答案

MS = 28.57%

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