货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €1 500，共 11 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。
A = €1 500i = 5%n = 11
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 24 年内每月月末存入 €250。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €2506% / 12N = 288
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€26 000, €31 000, €19 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。
r = 15%CF0 = −75 000CF1 = 26 000CF2 = 31 000CF3 = 19 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €37 500, €27 500, €32 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 37 500CF2 = 27 500CF3 = 32 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 10y0 = 9%y1 = 10%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 070。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.1。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 re。
βU = 1.1D/E = 1T = 21%rf = 3.5%rm − rf = 5%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €10 000，单位变动成本为 €10。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €20 000，单位变动成本为 €8。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €10 000vA = €10FB = €20 000vB = €8
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司以每件 €23 销售 10 000 件，单位变动成本为 €8，固定成本为 €60 000。如果销量增加 8%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？
Q = 10 000p = €23v = €8F = €60 000%ΔQ = +8%
%ΔΠ = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 12460 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.5847)/0.05 = 8.306
现值
PV = 1 500·8.306 = €12 459.62
答案
PV = €12 459.62
2.货币的时间价值
答案: FV = 160279 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·24 = 288
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(4.206 − 1)/0.005 = €160 278.95
答案
FV = €160 278.95
你自己存入了 €72 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −16458 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 26 000/1.15 = 22 608.70
CF2/(1 + 0.15)2 = 31 000/1.322 = 23 440.45
CF3/(1 + 0.15)3 = 19 000/1.521 = 12 492.81
相加
NPV = €−16 458.04
答案
NPV = €−16 458.04
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 44.32 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(40%) = 2 660.35
NPV(45%) = −397.72
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 40 + 5·2 660.35/(2 660.35 − (−397.72)) = 44.35%
精确: NPV(44.32%) = 0 → IRR = 44.32%
答案
IRR = 44.32%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = 1.94 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €30.00, i = 0.09, N = 10
€30.00·(1 − 0.4224)/0.09 + €1 000·0.4224 = €192.53 + €422.41 = €614.94
卖出价
C = €30.00, i = 0.1, N = 9
€30.00·(1 − 0.4241)/0.1 + €1 000·0.4241 = €172.77 + €424.10 = €596.87
持有期收益率
HPR = (30 + 596.87 − 614.94)/614.94 = 1.94%
答案
HPR = 1.94%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.452 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 070 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(3%) = €1 091.59, P(4%) = €1 044.52
YTM = 3.452%
答案
YTM = 3.452%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.08 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9% + 0.5·4%·(1 − 0.21) = 6.08%
答案
WACC = 6.08%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 13.35 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
有杠杆贝塔
βL = 1.1·(1 + 0.79·1) = 1.969
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 1.969·5% = 13.35%
答案
re = 13.35%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
10 000 + 10Q = 20 000 + 8Q
求 Q
Q = (20 000 − 10 000)/(10 − 8) = 5 000
答案
Q = 5 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: %ΔΠ = 13.33 %
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献和利润
CM = 10 000·15 = €150 000
Π = 150 000 − 60 000 = €90 000
DOL
DOL = 150 000/90 000 = 1.667
利润的变化
%ΔΠ = 1.667·(+8%) = +13.33%
答案
%ΔΠ = +13.33%
校核：新利润 = 10 800·15 − 60 000 = €102 000.00。
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance