货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 7% 的利率连续复利投资 €1 000。求 11 年后的价值 FV。
PV = €1 000r = 7%t = 11
FV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 13 年后得到 €25 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €25 0006% / 12N = 156
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €40 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €15 500, €16 500, €9 500, €11 500, €13 500, €9 500。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 10%CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 500CF3 = 9 500CF4 = 11 500CF5 = 13 500CF6 = 9 500
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 000, €3 500, €3 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 3 500CF3 = 3 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 4%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 4%n = 8
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 13 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）售价 €1 275。发行人可在 4 年后以 €1 050 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%P = €1 275赎回价格 = €1 050赎回时间 4 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求 WACC。
D/E = 0.5re = 10%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有1 000 000 股、每股 €52.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。
β = 0.9rf = 2.5%rm = 8%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €20，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €48 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €48 000p = €20v = €8利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €26，单位变动成本 €20，每年固定成本 €4 800。预算销量为 1 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €4 800p = €26v = €20预算 = 1 000
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 2160 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.07·11 = 0.77
e0.77 = 2.16
终值
FV = 1 000·2.16 = €2 159.77
答案
FV = €2 159.77
2.货币的时间价值
答案: A = 106.2 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·13 = 156
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 25 000·0.005/(2.177 − 1) = €106.18
答案
A = €106.18
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.654 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 15 500/1.1 = 14 090.91 → Σ = 14 090.91
年份 2: 16 500/1.21 = 13 636.36 → Σ = 27 727.27
年份 3: 9 500/1.331 = 7 137.49 → Σ = 34 864.76
年份 4: 11 500/1.464 = 7 854.65 → Σ = 42 719.42
最后一年的分数
DPB = 3 + 5 135.24/7 854.65 = 3.654
答案
DPB = 3.654 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.842 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 22.13 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 289.35
NPV(25%) = −368.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·289.35/(289.35 − (−368.00)) = 22.2%
精确: NPV(22.13%) = 0 → IRR = 22.13%
答案
IRR = 22.13%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1136 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €30.00, i = 0.02, N = 16
票息的现值
€30.00·(1 − 0.7284)/0.02 = €407.33
面值的现值
€1 000·0.7284 = €728.45
价格
P = €1 135.78
答案
P = €1 135.78
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 50 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1275 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
数值求解
y = 50%: €287.65
y = 50%: €287.65
YTC = 50%
答案
YTC = 50%
到期收益率为 2.497%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.867 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·10% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.2) = 7.867%
答案
WACC = 7.867%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.806 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 1 000 000·€52.50 = €52 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 0.9·5.5% = 7.45%
权重
V = €94 500 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·7.45% + 0.4444·5%·(1 − 0.25) = 5.806%
答案
WACC = 5.806%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 20 − 8 = €12
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (48 000 + 6 000)/12 = 4 500
答案
Q = 4 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 4 800/6 = 800
安全边际
MS = (1 000 − 800)/1 000·100 = 20%
答案
MS = 20%
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance