货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4% 投资 €3 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。
PV = €3 0004% / 12n = 7
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 12 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €5004.2% / 12N = 144
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €52 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。
C0 = €500 000CF1 = €52 000g = 3%r = 11%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 500, €23 000, €29 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 21 500CF2 = 23 000CF3 = 29 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 6 年后到期，每年付息。到期收益率为 9% 时其售价为 €686。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 6P = €686YTM = 9%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 5.5%。求麦考利久期 D，以年表示。
F = €1 000票面利率 = 4%n = 5YTM = 5.5%
D = 年
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。求 WACC。
E = €12 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €54.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。
β = 0.9rf = 2.5%rm = 7%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €19，单位变动成本 €4。每月固定成本为 €75 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €75 000p = €19v = €4利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €33，单位变动成本 €18，每年固定成本 €22 500。预算销量为 1 880 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €22 500p = €33v = €18预算 = 1 880
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 3968 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.04/12 = 0.003333
N = m·n = 12·7 = 84
终值
FV = 3 000·(1 + 0.003333)84 = 3 000·1.323 = €3 967.54
答案
FV = €3 967.54
2.货币的时间价值
答案: FV = 93410 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·12 = 144
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(1.654 − 1)/0.0035 = €93 410.49
答案
FV = €93 410.49
你自己存入了 €72 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 150000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 52 000/(0.11 − 0.03) = 650 000.00
NPV
NPV = 650 000.00 − 500 000 = €150 000.00
答案
NPV = €150 000.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 35.95 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(35%) = 536.00
NPV(40%) = −2 157.43
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 35 + 5·536.00/(536.00 − (−2 157.43)) = 36%
精确: NPV(35.95%) = 0 → IRR = 35.95%
答案
IRR = 35.95%
5.债券定价与收益率
答案: c = 2 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.09)−6 = €596.27
票息
C = (686 − 596.27)/4.486 = €20.00
票面利率
c = 20/1000 = 2%
答案
c = 2%
6.债券定价与收益率
答案: D = 4.615 年
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各笔现金流的现值
t = 1: 40/1.055 = 37.91, t·PV = 37.91
t = 2: 40/1.113 = 35.94, t·PV = 71.88
t = 3: 40/1.174 = 34.06, t·PV = 102.19
t = 4: 40/1.239 = 32.29, t·PV = 129.15
t = 5: 1040/1.307 = 795.74, t·PV = 3 978.70
久期
P = 935.95
D = 4 319.84/935.95 = 4.615
答案
D = 4.615 年
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.109 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €14 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429
WACC
WACC = 0.8571·9% + 0.1429·3.5%·(1 − 0.21) = 8.109%
答案
WACC = 8.109%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.275 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€54.50 = €109 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 0.9·4.5% = 6.55%
权重
V = €119 200 000, E/V = 0.9144, D/V = 0.08557
WACC
WACC = 0.9144·6.55% + 0.08557·4.5%·(1 − 0.258) = 6.275%
答案
WACC = 6.275%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5400 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 19 − 4 = €15
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (75 000 + 6 000)/15 = 5 400
答案
Q = 5 400 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20.21 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 22 500/15 = 1 500
安全边际
MS = (1 880 − 1 500)/1 880·100 = 20.21%
答案
MS = 20.21%
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