公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €1 000。求 13 年后的价值 FV。

PV = €1 000r = 4%t = 13

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0007.2% / 12N = 72

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€17 000, €16 000, €18 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 16 000CF₃ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €6 000, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 000CF₃ = 7 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 4%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 10 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 10P = €920

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €23.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €24 的价格销售 2 400 件。单位变动成本为 €4，固定成本为 €24 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 2 400p = €24v = €4F = €24 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €26 销售 3 000 件，单位变动成本为 €18，固定成本为 €16 000。如果销量减少 5%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 3 000p = €26v = €18F = €16 000%ΔQ = −5%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1682 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·13 = 0.52

e^0.52 = 1.682

终值

FV = 1 000·1.682 = €1 682.03

答案

FV = €1 682.03

2.货币的时间价值

答案: A = 342.9 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.65

A = 20 000·0.006/(1 − 0.65) = €342.90

答案

A = €342.90

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6284 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 17 000/1.15 = 14 782.61

CF₂/(1 + 0.15)² = 16 000/1.322 = 12 098.30

CF₃/(1 + 0.15)³ = 18 000/1.521 = 11 835.29

相加

NPV = €−6 283.80

答案

NPV = €−6 283.80

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.79 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 624.00

NPV(30%) = −186.62

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·624.00/(624.00 − (−186.62)) = 28.85%

精确: NPV(28.79%) = 0 → IRR = 28.79%

答案

IRR = 28.79%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1090 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.02, N = 10

票息的现值

€30.00·(1 − 0.8203)/0.02 = €269.48

面值的现值

€1 000·0.8203 = €820.35

价格

P = €1 089.83

答案

P = €1 089.83

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.986 %

收益率方程

€920 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(3%) = €1 000.00, P(4%) = €918.89

YTM = 3.986%

答案

YTM = 3.986%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.75 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·14% + 0.4·4.5%·(1 − 0.25) = 9.75%

答案

WACC = 9.75%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.75 %

市场价值

E = 2 000 000·€23.50 = €47 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.8·6.5% = 13.7%

权重

V = €56 800 000, E/V = 0.8275, D/V = 0.1725

WACC

WACC = 0.8275·13.7% + 0.1725·3%·(1 − 0.2) = 11.75%

答案

WACC = 11.75%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 2

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 2 400·(24 − 4) = €48 000

营业利润

Π = 48 000 − 24 000 = €24 000

DOL

DOL = 48 000/24 000 = 2

答案

DOL = 2

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = −15 %

边际贡献和利润

CM = 3 000·8 = €24 000

Π = 24 000 − 16 000 = €8 000

DOL

DOL = 24 000/8 000 = 3

利润的变化

%ΔΠ = 3·(−5%) = −15%

答案

%ΔΠ = −15%

校核：新利润 = 2 850·8 − 16 000 = €6 800.00。

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