货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 6 年后需要 €5 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €5 0004.8% / 12n = 6
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 4.8% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €175。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €12 000A = €1754.8% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €16 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。
C0 = €200 000CF1 = €16 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €20 500, €28 500, €18 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 20 500CF2 = 28 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 7 年后到期，每年付息。到期收益率为 3% 时其售价为 €938。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 7P = €938YTM = 3%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 228。发行人可在 6 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 228赎回价格 = €1 070赎回时间 6 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。求 WACC。
D/E = 0.6re = 9%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €19.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。
β = 1.1rf = 2.5%rm = 9.5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €32，单位变动成本为 €30。固定成本为每月 €3 000，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 000？
p = €32v = €30F = €3 000T = 20%税后利润 = €1 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €22 销售 2 000 件，单位变动成本为 €18，固定成本为每月 €3 200。单位变动成本上涨 €2，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 2 000p = €22v = €18 → €20F = €3 200
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 3751 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·6 = 72
现值
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.333 = €3 750.96
答案
PV = €3 750.96
2.货币的时间价值
答案: N = 81 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.004
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0.004/175 = 0.7257
用对数求解
N = −ln(0.7257)/ln(1.004) = 80.31
向上取整到整次还款
80 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 81
答案
N = 81 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −40000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 16 000/(0.11 − 0.01) = 160 000.00
NPV
NPV = 160 000.00 − 200 000 = −€40 000.00
答案
NPV = −€40 000.00
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 31.48 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 826.13
NPV(35%) = −1 861.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·826.13/(826.13 − (−1 861.00)) = 31.54%
精确: NPV(31.48%) = 0 → IRR = 31.48%
答案
IRR = 31.48%
5.债券定价与收益率
答案: c = 2.005 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.03)−7 = €813.09
票息
C = (938 − 813.09)/6.23 = €20.05
票面利率
c = 20.05/1000 = 2.005%
答案
c = 2.005%
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 3.748 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1228 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
数值求解
y = 3%: €1 275.31
y = 4%: €1 212.59
YTC = 3.748%
答案
YTC = 3.748%
到期收益率为 4.5%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.609 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625
D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375
WACC
WACC = 0.625·9% + 0.375·3.5%·(1 − 0.25) = 6.609%
答案
WACC = 6.609%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.899 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€19.00 = €38 000 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 1.1·7% = 10.2%
权重
V = €47 600 000, E/V = 0.7983, D/V = 0.2017
WACC
WACC = 0.7983·10.2% + 0.2017·5%·(1 − 0.25) = 8.899%
答案
WACC = 8.899%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2125 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
1 000/(1 − 0.2) = €1 250
所需销量
Q = (3 000 + 1 250)/2 = 2 125
答案
Q = 2 125 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 4000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 2 000·(22 − 18) − 3 200 = €4 800
新的单位边际贡献
22 − 20 = €2
保持相同利润所需的件数
Q = (3 200 + 4 800)/2 = 4 000
答案
Q = 4 000 件
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