货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3% 投资 €1 000，按月复利。求 6 年后的投资价值 FV。
PV = €1 0003% / 12n = 6
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 8 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €200 0004.8% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€4 000, €8 000, €10 000, €6 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
r = 9%CF0 = −20 000CF1 = 4 000CF2 = 8 000CF3 = 10 000CF4 = 6 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €19 500, €25 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 25 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，13 年后到期。其到期收益率从 3% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 7%n = 13y1 = 3%y2 = 5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 6 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 6P = €935
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €4 000 000。其 WACC 为 5.9%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求股权资本成本 re。
E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 5.9%rd = 6%T = 28%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €58.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。
β = 0.6rf = 2.5%rm = 8%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €12，单位变动成本 €4。每月固定成本为 €20 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €20 000？
F = €20 000p = €12v = €4利润 = €20 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €19，变动成本 €15；产品 B 售价 €30，变动成本 €20。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €20 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。
pA = €19, vA = €15pB = €30, vB = €20A : B = 5 : 2F = €20 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 1197 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·6 = 72
终值
FV = 1 000·(1 + 0.0025)72 = 1 000·1.197 = €1 196.95
答案
FV = €1 196.95
2.货币的时间价值
答案: B = 141866 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.004, N = 240
A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−240) = €1 297.91
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1298·(1 − (1 + 0.004)−144)/0.004 = €141 865.78
答案
B = €141 865.78
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 2376 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 4 000/1.09 = 3 669.72
CF2/(1 + 0.09)2 = 8 000/1.188 = 6 733.44
CF3/(1 + 0.09)3 = 10 000/1.295 = 7 721.83
CF4/(1 + 0.09)4 = 6 000/1.412 = 4 250.55
相加
NPV = €2 375.55
答案
NPV = €2 375.55
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 7.856 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 1 700.68
NPV(10%) = −1 198.35
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·1 700.68/(1 700.68 − (−1 198.35)) = 7.933%
精确: NPV(7.856%) = 0 → IRR = 7.856%
答案
IRR = 7.856%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −237.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €70.00, i = 0.03, N = 13
€70.00·(1 − 0.681)/0.03 + €1 000·0.681 = €744.45 + €680.95 = €1 425.40
按新收益率计算的价格
C = €70.00, i = 0.05, N = 13
€70.00·(1 − 0.5303)/0.05 + €1 000·0.5303 = €657.55 + €530.32 = €1 187.87
变化
ΔP = 1 187.87 − 1 425.40 = −€237.53
答案
ΔP = −€237.53
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 9.469 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数值求解
P(9%) = €955.14, P(10%) = €912.89
YTM = 9.469%
答案
YTM = 9.469%
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 8.007 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714
WACC 中的债务部分
0.5714·6%·(1 − 0.28) = 2.469%
股权成本
re = (5.9% − 2.469%)/0.4286 = 8.007%
答案
re = 8.007%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.311 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€58.50 = €117 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 0.6·5.5% = 5.8%
权重
V = €159 000 000, E/V = 0.7358, D/V = 0.2642
WACC
WACC = 0.7358·5.8% + 0.2642·5%·(1 − 0.21) = 5.311%
答案
WACC = 5.311%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 12 − 4 = €8
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (20 000 + 20 000)/8 = 5 000
答案
Q = 5 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 3500 件
有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。
边际贡献
cmA = €4, cmB = €10
加权边际贡献
(5·4 + 2·10)/7 = €5.71
盈亏平衡件数
Q = 20 000/5.714 = 3 500
A: 2 500, B: 1 000
答案
Q = 3 500 件
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