货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 4.5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €8 000g = 1.5%r = 4.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 16 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €1003% / 12N = 192
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €9 000, €6 000, €8 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 14 000CF2 = 9 000CF3 = 6 000CF4 = 8 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €20 000, €14 000, €23 500, €18 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 12%CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 14 000CF3 = 23 500CF4 = 18 000
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，11 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 3%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 6%n = 11y1 = 3.5%y2 = 3%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €945，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 4.8 年。如果收益率上升 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €945y = 3%D = 4.8Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求 WACC。
D/E = 0.6re = 14%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €12.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 6%。求 WACC。
β = 1.5rf = 1.5%rm = 6%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €24，单位变动成本为 €4。固定成本为每月 €24 000，利润按 30% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €7 000？
p = €24v = €4F = €24 000T = 30%税后利润 = €7 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €18，单位变动成本 €6，每年固定成本 €18 000。预算销量为 1 880 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €18 000p = €18v = €6预算 = 1 880
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 266667 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 8 000/(0.045 − 0.015) = 8 000/0.03 = €266 666.67
答案
PV = €266 666.67
2.货币的时间价值
答案: FV = 24604 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·16 = 192
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(1.615 − 1)/0.0025 = €24 604.27
答案
FV = €24 604.27
你自己存入了 €19 200；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −970.4 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 14 000/1.12 = 12 500.00
CF2/(1 + 0.12)2 = 9 000/1.254 = 7 174.74
CF3/(1 + 0.12)3 = 6 000/1.405 = 4 270.68
CF4/(1 + 0.12)4 = 8 000/1.574 = 5 084.14
相加
NPV = €−970.43
答案
NPV = €−970.43
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 22.47 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
20 000·1.123 = 28 098.56
14 000·1.122 = 17 561.60
23 500·1.121 = 26 320.00
18 000·1.120 = 18 000.00
TV = 89 980.16
MIRR
MIRR = (89 980.16/40 000)1/4 − 1 = 22.47%
答案
MIRR = 22.47%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 52.54 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €60.00, i = 0.035, N = 11
€60.00·(1 − 0.6849)/0.035 + €1 000·0.6849 = €540.09 + €684.95 = €1 225.04
按新收益率计算的价格
C = €60.00, i = 0.03, N = 11
€60.00·(1 − 0.7224)/0.03 + €1 000·0.7224 = €555.16 + €722.42 = €1 277.58
变化
ΔP = 1 277.58 − 1 225.04 = €52.54
答案
ΔP = €52.54
6.债券定价与收益率
答案: P = 878.9 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 4.8/1.03 = 4.66
估计的价格变化
%ΔP ≈ −4.66·(0.015) = −6.99%
P ≈ 945·(1 − 0.0699) = €878.94
答案
P = €878.94
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.37 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625
D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375
WACC
WACC = 0.625·14% + 0.375·6%·(1 − 0.28) = 10.37%
答案
WACC = 10.37%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.612 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€12.50 = €25 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 1.5·4.5% = 8.25%
权重
V = €35 200 000, E/V = 0.7102, D/V = 0.2898
WACC
WACC = 0.7102·8.25% + 0.2898·3.5%·(1 − 0.258) = 6.612%
答案
WACC = 6.612%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1700 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
7 000/(1 − 0.3) = €10 000
所需销量
Q = (24 000 + 10 000)/20 = 1 700
答案
Q = 1 700 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20.21 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 18 000/12 = 1 500
安全边际
MS = (1 880 − 1 500)/1 880·100 = 20.21%
答案
MS = 20.21%
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