货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一张信用卡的名义年利率为 25%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。
r = 25%m = 12
EAR = %
2.货币的时间价值困难
你以每年 4.2% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €275。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €12 000A = €2754.2% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €80 000。它在 3 年内每年年末产生 €31 500，之后可以以 €12 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF = €31 500S = €12 000n = 3r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €24 500, €26 000, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 26 000CF3 = 28 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 7%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 7%n = 11
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 120。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 10P = €1 120
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 12.4%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 1.2re = 12.4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €59.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2%，市场回报率为 6%。求 WACC。
β = 1.2rf = 2%rm = 6%rd = 3.5%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €12 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €6，固定成本为 €15 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 3 000p = €12v = €6F = €15 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €12，变动成本 €8；产品 B 售价 €30，变动成本 €15。两者按固定组合销售，每销售 3 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €8 400。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。
pA = €12, vA = €8pB = €30, vB = €15A : B = 3 : 2F = €8 400
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: EAR = 28.07 %
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
每期利率
r/m = 0.25/12 = 0.02083
复利一年
EAR = (1 + 0.02083)12 − 1 = 1.281 − 1 = 28.07%
答案
EAR = 28.07%
当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。
2.货币的时间价值
答案: N = 48 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.0035
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0.0035/275 = 0.8473
用对数求解
N = −ln(0.8473)/ln(1.004) = 47.44
向上取整到整次还款
47 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 48
答案
N = 48 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 10705 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
31 500·2.577 = 81 178.56
残值的现值
12 000/1.26 = 9 525.99
NPV
NPV = −80 000 + 81 178.56 + 9 525.99 = €10 704.54
答案
NPV = €10 704.54
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 42.2 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(40%) = 1 151.60
NPV(45%) = −1 388.74
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 40 + 5·1 151.60/(1 151.60 − (−1 388.74)) = 42.27%
精确: NPV(42.2%) = 0 → IRR = 42.2%
答案
IRR = 42.2%
5.债券定价与收益率
答案: P = 772.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €20.00, i = 0.035, N = 22
票息的现值
€20.00·(1 − 0.4692)/0.035 = €303.34
面值的现值
€1 000·0.4692 = €469.15
价格
P = €772.49
答案
P = €772.49
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 4.485 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 120 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(4%) = €1 162.22, P(5%) = €1 077.22
YTM = 4.485%
答案
YTM = 4.485%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 11 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (12.4% − 4%)/1.2 = 7%
市场回报
rm = 4% + 7% = 11%
答案
rm = 11%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.528 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€59.00 = €147 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.2·4% = 6.8%
权重
V = €157 500 000, E/V = 0.9365, D/V = 0.06349
WACC
WACC = 0.9365·6.8% + 0.06349·3.5%·(1 − 0.28) = 6.528%
答案
WACC = 6.528%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 6
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 3 000·(12 − 6) = €18 000
营业利润
Π = 18 000 − 15 000 = €3 000
DOL
DOL = 18 000/3 000 = 6
答案
DOL = 6
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 1000 件
有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。
边际贡献
cmA = €4, cmB = €15
加权边际贡献
(3·4 + 2·15)/5 = €8.40
盈亏平衡件数
Q = 8 400/8.4 = 1 000
A: 600, B: 400
答案
Q = 1 000 件
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