公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €5 000。求 7 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 8%t = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0003.6% / 12N = 48

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €12 000, €7 000, €9 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 12 000CF₃ = 7 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €3 500, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 7 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 145。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 8P = €1 145

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €38.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3.5%r_m = 7.5%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €12，单位变动成本为 €4。固定成本为每月 €4 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 500？

p = €12v = €4F = €4 000T = 25%税后利润 = €1 500

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €23，单位变动成本 €8，每年固定成本 €18 000。预算销量为 1 560 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €18 000p = €23v = €8预算 = 1 560

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8753 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·7 = 0.56

e^0.56 = 1.751

终值

FV = 5 000·1.751 = €8 753.36

答案

FV = €8 753.36

2.货币的时间价值

答案: A = 448 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8661

A = 20 000·0.003/(1 − 0.8661) = €448.01

答案

A = €448.01

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 6146 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 14 000/1.07 = 13 084.11

CF₂/(1 + 0.07)² = 12 000/1.145 = 10 481.26

CF₃/(1 + 0.07)³ = 7 000/1.225 = 5 714.09

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 9 000/1.311 = 6 866.06

相加

NPV = €6 145.52

答案

NPV = €6 145.52

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 5.853 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 136.05

NPV(10%) = −619.83

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·136.05/(136.05 − (−619.83)) = 5.9%

精确: NPV(5.853%) = 0 → IRR = 5.853%

答案

IRR = 5.853%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1353 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.015, N = 16

票息的现值

€40.00·(1 − 0.788)/0.015 = €565.25

面值的现值

€1 000·0.788 = €788.03

价格

P = €1 353.28

答案

P = €1 353.28

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.019 %

收益率方程

€1 145 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(2%) = €1 146.51, P(3%) = €1 070.20

YTM = 2.019%

答案

YTM = 2.019%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.257 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·10% + 0.4286·4.5%·(1 − 0.2) = 7.257%

答案

WACC = 7.257%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.679 %

市场价值

E = 5 000 000·€38.50 = €192 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9·4% = 7.1%

权重

V = €212 500 000, E/V = 0.9059, D/V = 0.09412

WACC

WACC = 0.9059·7.1% + 0.09412·3.5%·(1 − 0.25) = 6.679%

答案

WACC = 6.679%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 750 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

1 500/(1 − 0.25) = €2 000

所需销量

Q = (4 000 + 2 000)/8 = 750

答案

Q = 750 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 23.08 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 18 000/15 = 1 200

安全边际

MS = (1 560 − 1 200)/1 560·100 = 23.08%

答案

MS = 23.08%

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