货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 2 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €10 0005% / 4n = 2
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 13 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €1503% / 12N = 156
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €20 000，在 4 年内每年年末回报 €7 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 7 500CF3 = 7 500CF4 = 7 500
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 000, €32 000, €37 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 21 000CF2 = 32 000CF3 = 37 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €775。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 11P = €775YTM = 7%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 090。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 10P = €1 090
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 14%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €24.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。
β = 1.5rf = 3.5%rm = 10%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €57，单位变动成本 €45。每月固定成本为 €30 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €30 000p = €57v = €45利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €12，变动成本 €8；产品 B 售价 €18，变动成本 €10。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €36 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。
pA = €12, vA = €8pB = €18, vB = €10A : B = 5 : 2F = €36 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 9054 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·2 = 8
现值
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.104 = €9 053.98
答案
PV = €9 053.98
2.货币的时间价值
答案: FV = 28576 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·13 = 156
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1.476 − 1)/0.0025 = €28 575.73
答案
FV = €28 575.73
你自己存入了 €23 400；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.417 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 7 500/1.12 = 6 696.43 → Σ = 6 696.43
年份 2: 7 500/1.254 = 5 978.95 → Σ = 12 675.38
年份 3: 7 500/1.405 = 5 338.35 → Σ = 18 013.73
年份 4: 7 500/1.574 = 4 766.39 → Σ = 22 780.12
最后一年的分数
DPB = 3 + 1 986.27/4 766.39 = 3.417
答案
DPB = 3.417 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.667 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 32.48 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 1 929.90
NPV(35%) = −1 847.79
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·1 929.90/(1 929.90 − (−1 847.79)) = 32.55%
精确: NPV(32.48%) = 0 → IRR = 32.48%
答案
IRR = 32.48%
5.债券定价与收益率
答案: c = 3.999 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.07)−11 = €475.09
票息
C = (775 − 475.09)/7.499 = €39.99
票面利率
c = 39.99/1000 = 3.999%
答案
c = 3.999%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 1.998 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 090 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(1%) = €1 189.43, P(2%) = €1 089.83
YTM = 1.998%
答案
YTM = 1.998%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.82 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·6%·(1 − 0.258) = 10.82%
答案
WACC = 10.82%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 11.78 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€24.00 = €120 000 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 1.5·6.5% = 13.25%
权重
V = €140 400 000, E/V = 0.8547, D/V = 0.1453
WACC
WACC = 0.8547·13.25% + 0.1453·4%·(1 − 0.21) = 11.78%
答案
WACC = 11.78%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 3500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 57 − 45 = €12
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (30 000 + 12 000)/12 = 3 500
答案
Q = 3 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 7000 件
有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。
边际贡献
cmA = €4, cmB = €8
加权边际贡献
(5·4 + 2·8)/7 = €5.14
盈亏平衡件数
Q = 36 000/5.143 = 7 000
A: 5 000, B: 2 000
答案
Q = 7 000 件
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