公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €50 000。某账户年利率 3%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0003% / 4n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €275。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €20 000A = €2755.4% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€35 000, €36 000, €27 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 35 000CF₂ = 36 000CF₃ = 27 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €4 000, €2 500。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €6 000, €8 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 10y₀ = 8%y₁ = 9%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 040。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €1 040

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 0.9。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 25.8%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 0.9D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.75T = 25.8%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €16，单位变动成本 €6。每月固定成本为 €50 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？

F = €50 000p = €16v = €6利润 = €12 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €23 销售 800 件，单位变动成本为 €8，固定成本为 €7 500。如果销量增加 5%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 800p = €23v = €8F = €7 500%ΔQ = +5%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 45712 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·3 = 12

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.094 = €45 711.91

答案

PV = €45 711.91

2.货币的时间价值

答案: N = 89 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.0045/275 = 0.6727

用对数求解

N = −ln(0.6727)/ln(1.004) = 88.29

向上取整到整次还款

88 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 89

答案

N = 89 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 11194 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 35 000/1.07 = 32 710.28

CF₂/(1 + 0.07)² = 36 000/1.145 = 31 443.79

CF₃/(1 + 0.07)³ = 27 000/1.225 = 22 040.04

相加

NPV = €11 194.12

答案

NPV = €11 194.12

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.886 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

差额的 IRR

NPV_Δ(5%) = 136.59

NPV_Δ(6%) = −17.20

r* = 5.886%

答案

r* = 5.886%

校核：在 5.886% 时两个 NPV 都是 €867.70。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 1.316 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.08, N = 10

€45.00·(1 − 0.4632)/0.08 + €1 000·0.4632 = €301.95 + €463.19 = €765.15

卖出价

C = €45.00, i = 0.09, N = 9

€45.00·(1 − 0.4604)/0.09 + €1 000·0.4604 = €269.79 + €460.43 = €730.21

持有期收益率

HPR = (45 + 730.21 − 765.15)/765.15 = 1.316%

答案

HPR = 1.316%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.49 %

收益率方程

€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €1 053.46, P(7%) = €1 026.24

YTM = 6.49%

答案

YTM = 6.49%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.018 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·8% + 0.4286·4.5%·(1 − 0.25) = 6.018%

答案

WACC = 6.018%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 6.379 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 0.9/(1 + 0.742·0.2) = 0.7837

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.7837·(1 + 0.742·0.75) = 1.22

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.22·4% = 6.379%

答案

r_e = 6.379%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 6200 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 16 − 6 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (50 000 + 12 000)/10 = 6 200

答案

Q = 6 200 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 13.33 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 800·15 = €12 000

Π = 12 000 − 7 500 = €4 500

DOL

DOL = 12 000/4 500 = 2.667

利润的变化

%ΔΠ = 2.667·(+5%) = +13.33%

答案

%ΔΠ = +13.33%

校核：新利润 = 840·15 − 7 500 = €5 100.00。

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