公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €15 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0002% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503.6% / 12N = 144

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €6 000, €8 000, €8 500, €9 000, €7 000, €6 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 500CF₄ = 9 000CF₅ = 7 000CF₆ = 6 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €19 000, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 19 000CF₂ = 28 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 5.5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 8%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 4YTM = 8%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 11.9%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.2r_e = 11.9%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €31.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1.5%r_m = 7%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €30，单位变动成本 €20。每月固定成本为 €10 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？

F = €10 000p = €30v = €20利润 = €2 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €25，单位变动成本 €20，每年固定成本 €5 000。预算销量为 1 200 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €5 000p = €25v = €20预算 = 1 200

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 13042 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.15 = €13 041.89

答案

PV = €13 041.89

2.货币的时间价值

答案: FV = 26967 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.539 − 1)/0.003 = €26 966.96

答案

FV = €26 966.96

你自己存入了 €21 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.387 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 6 000/1.12 = 5 357.14 → Σ = 5 357.14

年份 2: 8 000/1.254 = 6 377.55 → Σ = 11 734.69

年份 3: 8 500/1.405 = 6 050.13 → Σ = 17 784.83

年份 4: 9 000/1.574 = 5 719.66 → Σ = 23 504.49

最后一年的分数

DPB = 3 + 2 215.17/5 719.66 = 3.387

答案

DPB = 3.387 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.706 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 11.44 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 826.45

NPV(15%) = −1 928.17

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·826.45/(826.45 − (−1 928.17)) = 11.5%

精确: NPV(11.44%) = 0 → IRR = 11.44%

答案

IRR = 11.44%

5.债券定价与收益率

答案: P = 754.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.0275, N = 18

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6137)/0.0275 = €140.49

面值的现值

€1 000·0.6137 = €613.66

价格

P = €754.15

答案

P = €754.15

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 3.66 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 60/1.08 = 55.56, t·PV = 55.56

t = 2: 60/1.166 = 51.44, t·PV = 102.88

t = 3: 60/1.26 = 47.63, t·PV = 142.89

t = 4: 1060/1.36 = 779.13, t·PV = 3 116.53

久期

P = 933.76

D = 3 417.85/933.76 = 3.66

答案

D = 3.66 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 10.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (11.9% − 3.5%)/1.2 = 7%

市场回报

r_m = 3.5% + 7% = 10.5%

答案

r_m = 10.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.509 %

市场价值

E = 1 000 000·€31.00 = €31 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.2·5.5% = 8.1%

权重

V = €70 200 000, E/V = 0.4416, D/V = 0.5584

WACC

WACC = 0.4416·8.1% + 0.5584·7%·(1 − 0.25) = 6.509%

答案

WACC = 6.509%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1200 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 30 − 20 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (10 000 + 2 000)/10 = 1 200

答案

Q = 1 200 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 16.67 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 5 000/5 = 1 000

安全边际

MS = (1 200 − 1 000)/1 200·100 = 16.67%

答案

MS = 16.67%

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