货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 5 年后需要 €10 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €10 0006% / 4n = 5
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 10 年内每月月末存入 €250。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €2504.8% / 12N = 120
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€37 000, €22 000, €17 000, €31 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
r = 8%CF0 = −75 000CF1 = 37 000CF2 = 22 000CF3 = 17 000CF4 = 31 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €8 500, €9 500, €7 500, €10 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 9 500CF3 = 7 500CF4 = 10 000
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 2.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 7y0 = 2.5%y1 = 3%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €900。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €900
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。求 WACC。
D/E = 0.25re = 11%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €56.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3%，市场回报率为 8%。求 WACC。
β = 1.3rf = 3%rm = 8%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €38，单位变动成本 €18。每月固定成本为 €80 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €80 000p = €38v = €18利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €32 销售 10 000 件，单位变动成本为 €20，固定成本为每月 €60 000。单位变动成本上涨 €4，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 10 000p = €32v = €20 → €24F = €60 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 7425 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·5 = 20
现值
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.347 = €7 424.70
答案
PV = €7 424.70
2.货币的时间价值
答案: FV = 38408 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·10 = 120
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.615 − 1)/0.004 = €38 407.99
答案
FV = €38 407.99
你自己存入了 €30 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 14402 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 37 000/1.08 = 34 259.26
CF2/(1 + 0.08)2 = 22 000/1.166 = 18 861.45
CF3/(1 + 0.08)3 = 17 000/1.26 = 13 495.15
CF4/(1 + 0.08)4 = 31 000/1.36 = 22 785.93
相加
NPV = €14 401.79
答案
NPV = €14 401.79
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 20.57 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
8 500·1.123 = 11 941.89
9 500·1.122 = 11 916.80
7 500·1.121 = 8 400.00
10 000·1.120 = 10 000.00
TV = 42 258.69
MIRR
MIRR = (42 258.69/20 000)1/4 − 1 = 20.57%
答案
MIRR = 20.57%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = 0.02349 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €60.00, i = 0.025, N = 7
€60.00·(1 − 0.8413)/0.025 + €1 000·0.8413 = €380.96 + €841.27 = €1 222.23
卖出价
C = €60.00, i = 0.03, N = 6
€60.00·(1 − 0.8375)/0.03 + €1 000·0.8375 = €325.03 + €837.48 = €1 162.52
持有期收益率
HPR = (60 + 1 162.52 − 1 222.23)/1 222.23 = 0.02349%
答案
HPR = 0.02349%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 7.47 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€900 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(7%) = €918.00, P(8%) = €880.22
YTM = 7.47%
答案
YTM = 7.47%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.245 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·11% + 0.2·3%·(1 − 0.258) = 9.245%
答案
WACC = 9.245%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.281 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€56.00 = €280 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
股权成本（CAPM）
re = 3% + 1.3·5% = 9.5%
权重
V = €290 000 000, E/V = 0.9655, D/V = 0.03448
WACC
WACC = 0.9655·9.5% + 0.03448·4%·(1 − 0.21) = 9.281%
答案
WACC = 9.281%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4600 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 38 − 18 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (80 000 + 12 000)/20 = 4 600
答案
Q = 4 600 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 15000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 10 000·(32 − 20) − 60 000 = €60 000
新的单位边际贡献
32 − 24 = €8
保持相同利润所需的件数
Q = (60 000 + 60 000)/8 = 15 000
答案
Q = 15 000 件
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