货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 8%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €6 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 19 年后得到 €50 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €50 0002.4% / 12N = 228
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€15 000, €21 000, €14 000, €15 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
r = 12%CF0 = −45 000CF1 = 15 000CF2 = 21 000CF3 = 14 000CF4 = 15 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 000, €12 500, €13 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 12 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 8%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 8%n = 6
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €1 060
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €6 000 000D = €6 000 000re = 14%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €40.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。
β = 1.1rf = 2.5%rm = 7%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €16，单位变动成本 €6。每月固定成本为 €8 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？
F = €8 000p = €16v = €6利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €33，单位变动成本 €18，每年固定成本 €12 000。预算销量为 1 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €12 000p = €33v = €18预算 = 1 000
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 120000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 6 000/(0.08 − 0.03) = 6 000/0.05 = €120 000.00
答案
PV = €120 000.00
2.货币的时间价值
答案: A = 173.3 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·19 = 228
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 50 000·0.002/(1.577 − 1) = €173.30
答案
A = €173.30
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 4632 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 15 000/1.12 = 13 392.86
CF2/(1 + 0.12)2 = 21 000/1.254 = 16 741.07
CF3/(1 + 0.12)3 = 14 000/1.405 = 9 964.92
CF4/(1 + 0.12)4 = 15 000/1.574 = 9 532.77
相加
NPV = €4 631.62
答案
NPV = €4 631.62
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 28.01 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(25%) = 1 112.00
NPV(30%) = −689.58
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 25 + 5·1 112.00/(1 112.00 − (−689.58)) = 28.09%
精确: NPV(28.01%) = 0 → IRR = 28.01%
答案
IRR = 28.01%
5.债券定价与收益率
答案: P = 812.3 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €20.00, i = 0.04, N = 12
票息的现值
€20.00·(1 − 0.6246)/0.04 = €187.70
面值的现值
€1 000·0.6246 = €624.60
价格
P = €812.30
答案
P = €812.30
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 1.923 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(1%) = €1 088.23, P(2%) = €1 057.68
YTM = 1.923%
答案
YTM = 1.923%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.597 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·14% + 0.5·7%·(1 − 0.258) = 9.597%
答案
WACC = 9.597%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.553 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€40.50 = €101 250 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 1.1·4.5% = 7.45%
权重
V = €121 650 000, E/V = 0.8323, D/V = 0.1677
WACC
WACC = 0.8323·7.45% + 0.1677·3%·(1 − 0.3) = 6.553%
答案
WACC = 6.553%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 16 − 6 = €10
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (8 000 + 2 000)/10 = 1 000
答案
Q = 1 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 12 000/15 = 800
安全边际
MS = (1 000 − 800)/1 000·100 = 20%
答案
MS = 20%
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