公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 10 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 4%n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 30 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0003.6% / 12N = 360

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€9 000, €9 000, €10 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €7 000，之后每年增长 3%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €7 000g = 3%n = 10r = 12%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 5 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 5P = €935

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 8.33%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 8.33%r_d = 4.5%T = 25.8%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €13.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €22 的价格销售 10 000 件。单位变动成本为 €18，固定成本为 €16 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 10 000p = €22v = €18F = €16 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €8，变动成本 €5；产品 B 售价 €25，变动成本 €15。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €28 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €8, v_A = €5p_B = €25, v_B = €15A : B = 5 : 2F = €28 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 40554 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.6756)/0.04 = 8.111

现值

PV = 5 000·8.111 = €40 554.48

答案

PV = €40 554.48

2.货币的时间价值

答案: A = 909.3 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·30 = 360

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.3401

A = 200 000·0.003/(1 − 0.3401) = €909.29

答案

A = €909.29

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6446 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 9 000/1.09 = 8 256.88

CF₂/(1 + 0.09)² = 9 000/1.188 = 7 575.12

CF₃/(1 + 0.09)³ = 10 000/1.295 = 7 721.83

相加

NPV = €−6 446.16

答案

NPV = €−6 446.16

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −35877 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.12))¹⁰ = 0.4327

PV = 7 000/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.4327) = 44 122.94

NPV

NPV = 44 122.94 − 80 000 = −€35 877.06

答案

NPV = −€35 877.06

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 916.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.025, N = 22

票息的现值

€20.00·(1 − 0.5809)/0.025 = €335.31

面值的现值

€1 000·0.5809 = €580.86

价格

P = €916.17

答案

P = €916.17

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.523 %

收益率方程

€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(5%) = €956.71, P(6%) = €915.75

YTM = 5.523%

答案

YTM = 5.523%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.994 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC 中的债务部分

0.25·4.5%·(1 − 0.258) = 0.8347%

股权成本

r_e = (8.33% − 0.8347%)/0.75 = 9.994%

答案

r_e = 9.994%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.59 %

市场价值

E = 5 000 000·€13.00 = €65 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·5% = 9%

权重

V = €69 900 000, E/V = 0.9299, D/V = 0.0701

WACC

WACC = 0.9299·9% + 0.0701·4.5%·(1 − 0.3) = 8.59%

答案

WACC = 8.59%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 1.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 10 000·(22 − 18) = €40 000

营业利润

Π = 40 000 − 16 000 = €24 000

DOL

DOL = 40 000/24 000 = 1.667

答案

DOL = 1.667

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 5600 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €3, cm_B = €10

加权边际贡献

(5·3 + 2·10)/7 = €5.00

盈亏平衡件数

Q = 28 000/5 = 5 600

A: 4 000, B: 1 600

答案

Q = 5 600 件

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