公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €5 000。求 6 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 5%t = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0003.6% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €13 000, €16 000, €19 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 13 000CF₃ = 16 000CF₄ = 19 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 500, €8 000, €4 500。项目 B 需投入 €30 000，回报为 €8 500, €12 500, €15 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −30 000, 8 500, 12 500, 15 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 7%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 045。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 5P = €1 045

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €11.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 4%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 8.5%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €35，单位变动成本 €30。每月固定成本为 €25 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？

F = €25 000p = €35v = €30利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €10，单位变动成本 €6，每年固定成本 €3 200。预算销量为 920 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €3 200p = €10v = €6预算 = 920

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6749 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·6 = 0.3

e^0.3 = 1.35

终值

FV = 5 000·1.35 = €6 749.29

答案

FV = €6 749.29

2.货币的时间价值

答案: A = 145.9 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 8 000·0.003/(1 − 0.8355) = €145.89

答案

A = €145.89

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1651 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 12 000/1.1 = 10 909.09

CF₂/(1 + 0.1)² = 13 000/1.21 = 10 743.80

CF₃/(1 + 0.1)³ = 16 000/1.331 = 12 021.04

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 19 000/1.464 = 12 977.26

相加

NPV = €1 651.19

答案

NPV = €1 651.19

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 7.357 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 8 500 − 11 500 = −3 000

ΔCF₂ = 12 500 − 8 000 = 4 500

ΔCF₃ = 15 500 − 4 500 = 11 000

差额的 IRR

NPV_Δ(7%) = 106.01

NPV_Δ(8%) = −187.60

r* = 7.357%

答案

r* = 7.357%

校核：在 7.357% 时两个 NPV 都是 €1 289.90。

5.债券定价与收益率

答案: P = 736.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.035, N = 18

票息的现值

€15.00·(1 − 0.5384)/0.035 = €197.85

面值的现值

€1 000·0.5384 = €538.36

价格

P = €736.21

答案

P = €736.21

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.044 %

收益率方程

€1 045 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(2%) = €1 047.13, P(3%) = €1 000.00

YTM = 2.044%

答案

YTM = 2.044%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.32 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·9% + 0.2·7%·(1 − 0.2) = 8.32%

答案

WACC = 8.32%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.334 %

市场价值

E = 2 000 000·€11.00 = €22 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·4.5% = 9.85%

权重

V = €41 200 000, E/V = 0.534, D/V = 0.466

WACC

WACC = 0.534·9.85% + 0.466·6%·(1 − 0.258) = 7.334%

答案

WACC = 7.334%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 6200 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 35 − 30 = €5

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (25 000 + 6 000)/5 = 6 200

答案

Q = 6 200 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 13.04 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 3 200/4 = 800

安全边际

MS = (920 − 800)/920·100 = 13.04%

答案

MS = 13.04%

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