公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 18 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 5%n = 18

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0007.2% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €5 500, €8 500, €5 000, €5 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 8 500CF₃ = 5 000CF₄ = 5 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €7 000，之后每年增长 4%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €7 000g = 4%n = 10r = 8%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €813。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 11P = €813YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 9%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 3YTM = 9%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 11.55%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 11.55%r_d = 4%T = 28%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €45.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €25 000，单位变动成本为 €25。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €37 000，单位变动成本为 €22。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €25 000v_A = €25F_B = €37 000v_B = €22

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €16，单位变动成本 €4，每年固定成本 €12 000。预算销量为 1 400 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €12 000p = €16v = €4预算 = 1 400

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 58448 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4155)/0.05 = 11.69

现值

PV = 5 000·11.69 = €58 447.93

答案

PV = €58 447.93

2.货币的时间价值

答案: A = 619.4 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8063

A = 20 000·0.006/(1 − 0.8063) = €619.37

答案

A = €619.37

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.7 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 5 500/1.06 = 5 188.68 → Σ = 5 188.68

年份 2: 8 500/1.124 = 7 564.97 → Σ = 12 753.65

年份 3: 5 000/1.191 = 4 198.10 → Σ = 16 951.75

年份 4: 5 500/1.262 = 4 356.52 → Σ = 21 308.26

最后一年的分数

DPB = 3 + 3 048.25/4 356.52 = 3.7

答案

DPB = 3.7 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.182 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −24987 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))¹⁰ = 0.6856

PV = 7 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.6856) = 55 013.09

NPV

NPV = 55 013.09 − 80 000 = −€24 986.91

答案

NPV = −€24 986.91

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.506 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹¹ = €475.09

票息

C = (813 − 475.09)/7.499 = €45.06

票面利率

c = 45.06/1000 = 4.506%

答案

c = 4.506%

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.803 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 70/1.09 = 64.22, t·PV = 64.22

t = 2: 70/1.188 = 58.92, t·PV = 117.84

t = 3: 1070/1.295 = 826.24, t·PV = 2 478.71

久期

P = 949.37

D = 2 660.76/949.37 = 2.803

答案

D = 2.803 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC 中的债务部分

0.1429·4%·(1 − 0.28) = 0.4114%

股权成本

r_e = (11.55% − 0.4114%)/0.8571 = 13%

答案

r_e = 13%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.138 %

市场价值

E = 2 000 000·€45.50 = €91 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.9·6.5% = 7.35%

权重

V = €95 900 000, E/V = 0.9489, D/V = 0.05109

WACC

WACC = 0.9489·7.35% + 0.05109·4%·(1 − 0.2) = 7.138%

答案

WACC = 7.138%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 4000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

25 000 + 25Q = 37 000 + 22Q

求 Q

Q = (37 000 − 25 000)/(25 − 22) = 4 000

答案

Q = 4 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 28.57 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 12 000/12 = 1 000

安全边际

MS = (1 400 − 1 000)/1 400·100 = 28.57%

答案

MS = 28.57%

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