公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €5 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0003.6% / 4n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 2 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0004.8% / 12N = 300k = 24

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €19 500, €19 000, €19 500, €13 000, €12 000。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 500CF₂ = 19 000CF₃ = 19 500CF₄ = 13 000CF₅ = 12 000

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €6 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €6 500n = 7

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 5.5%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 4P = €1 055

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 9.19%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 9.19%r_d = 5%T = 25%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 20%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.5D/E₂ = 0.6T = 20%r_f = 2.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €65，单位变动成本 €45。每月固定成本为 €20 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？

F = €20 000p = €65v = €45利润 = €5 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €15，变动成本 €12；产品 B 售价 €25，变动成本 €10。两者按固定组合销售，每销售 2 件 A 就销售 3 件 B。固定成本为每月 €10 200。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €15, v_A = €12p_B = €25, v_B = €10A : B = 2 : 3F = €10 200

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3621 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·9 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.381 = €3 621.50

答案

PV = €3 621.50

2.货币的时间价值

答案: B = 191303 €

月供

i = 0.004, N = 300

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁰⁰) = €1 145.99

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 24 = 276

B = 1146·(1 − (1 + 0.004)⁻²⁷⁶)/0.004 = €191 302.72

答案

B = €191 302.72

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.076 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 19 500/1.08 = 18 055.56 → Σ = 18 055.56

年份 2: 19 000/1.166 = 16 289.44 → Σ = 34 344.99

年份 3: 19 500/1.26 = 15 479.73 → Σ = 49 824.72

年份 4: 13 000/1.36 = 9 555.39 → Σ = 59 380.11

年份 5: 12 000/1.469 = 8 167.00 → Σ = 67 547.11

最后一年的分数

DPB = 4 + 619.89/8 167.00 = 4.076

答案

DPB = 4.076 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.154 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 3.329 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 40 000/6 500 = 6.154

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 3%: 6.23

i = 4%: 6.002

IRR = 3.329%

答案

IRR = 3.329%

5.债券定价与收益率

答案: P = 848.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.0275, N = 10

票息的现值

€10.00·(1 − 0.7624)/0.0275 = €86.40

面值的现值

€1 000·0.7624 = €762.40

价格

P = €848.80

答案

P = €848.80

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.433 %

收益率方程

€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(5%) = €1 070.92, P(6%) = €1 034.65

YTM = 5.433%

答案

YTM = 5.433%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC 中的债务部分

0.25·5%·(1 − 0.25) = 0.9375%

股权成本

r_e = (9.19% − 0.9375%)/0.75 = 11%

答案

r_e = 11%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10.75 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.3/(1 + 0.8·0.5) = 0.9286

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9286·(1 + 0.8·0.6) = 1.374

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.374·6% = 10.75%

答案

r_e = 10.75%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1250 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 65 − 45 = €20

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (20 000 + 5 000)/20 = 1 250

答案

Q = 1 250 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 1000 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €3, cm_B = €15

加权边际贡献

(2·3 + 3·15)/5 = €10.20

盈亏平衡件数

Q = 10 200/10.2 = 1 000

A: 400, B: 600

答案

Q = 1 000 件

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