货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 6% 投资 €20 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。
PV = €20 0006% / 12n = 9
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 11 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €5004.2% / 12N = 132
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000。它在 4 年内每年年末产生 €12 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €50 000CF = €12 500S = €10 000n = 4r = 10%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €14 000, €12 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €929。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 4P = €929YTM = 5%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €935，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 5.7 年。如果收益率下降 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €935y = 4%D = 5.7Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €12 000 000D = €4 000 000re = 10%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €40.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。
β = 0.6rf = 1.5%rm = 7%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €20，单位变动成本 €12。每月固定成本为 €12 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €10 000？
F = €12 000p = €20v = €12利润 = €10 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €36，单位变动成本 €30，每年固定成本 €24 000。预算销量为 6 400 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €24 000p = €36v = €30预算 = 6 400
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 34274 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.06/12 = 0.005
N = m·n = 12·9 = 108
终值
FV = 20 000·(1 + 0.005)108 = 20 000·1.714 = €34 273.99
答案
FV = €34 273.99
2.货币的时间价值
答案: FV = 83709 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·11 = 132
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(1.586 − 1)/0.0035 = €83 709.36
答案
FV = €83 709.36
你自己存入了 €66 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −3547 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
12 500·3.17 = 39 623.32
残值的现值
10 000/1.464 = 6 830.13
NPV
NPV = −50 000 + 39 623.32 + 6 830.13 = −€3 546.55
答案
NPV = −€3 546.55
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 4.053 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(0%) = 1 500.00
NPV(5%) = −328.80
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 0 + 5·1 500.00/(1 500.00 − (−328.80)) = 4.101%
精确: NPV(4.053%) = 0 → IRR = 4.053%
答案
IRR = 4.053%
5.债券定价与收益率
答案: c = 2.998 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.05)−4 = €822.70
票息
C = (929 − 822.70)/3.546 = €29.98
票面利率
c = 29.98/1000 = 2.998%
答案
c = 2.998%
6.债券定价与收益率
答案: P = 986.2 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 5.7/1.04 = 5.481
估计的价格变化
%ΔP ≈ −5.481·(−0.01) = 5.481%
P ≈ 935·(1 + 0.05481) = €986.25
答案
P = €986.25
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.613 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €16 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
WACC
WACC = 0.75·10% + 0.25·6%·(1 − 0.258) = 8.613%
答案
WACC = 8.613%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 4.226 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€40.50 = €101 250 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 0.6·5.5% = 4.8%
权重
V = €142 050 000, E/V = 0.7128, D/V = 0.2872
WACC
WACC = 0.7128·4.8% + 0.2872·4%·(1 − 0.3) = 4.226%
答案
WACC = 4.226%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2750 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 20 − 12 = €8
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (12 000 + 10 000)/8 = 2 750
答案
Q = 2 750 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 37.5 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 24 000/6 = 4 000
安全边际
MS = (6 400 − 4 000)/6 400·100 = 37.5%
答案
MS = 37.5%
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