货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 6.5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €6 000g = 2.5%r = 6.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 13 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €75 0003% / 12N = 156
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€24 000, €27 000, €19 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
r = 6%CF0 = −75 000CF1 = 24 000CF2 = 27 000CF3 = 19 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €19 000，之后每年增长 2%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF1 = €19 000g = 2%n = 5r = 10%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 8%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 8%n = 9
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 10P = €1 075
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €8 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 10.31%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求股权资本成本 re。
E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 10.31%rd = 6%T = 20%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €15 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 12 年），每张交易价格为 €1 048。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €15 000 000re = 11%债券: 4 000 × €1 048票面利率 = 4%n = 12T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €9，单位变动成本 €6。每月固定成本为 €6 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €6 000p = €9v = €6利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €20，单位变动成本 €15，每年固定成本 €5 000。预算销量为 1 600 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €5 000p = €20v = €15预算 = 1 600
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 150000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 6 000/(0.065 − 0.025) = 6 000/0.04 = €150 000.00
答案
PV = €150 000.00
2.货币的时间价值
答案: A = 393.7 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·13 = 156
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 75 000·0.0025/(1.476 − 1) = €393.69
答案
A = €393.69
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −12376 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 24 000/1.06 = 22 641.51
CF2/(1 + 0.06)2 = 27 000/1.124 = 24 029.90
CF3/(1 + 0.06)3 = 19 000/1.191 = 15 952.77
相加
NPV = €−12 375.82
答案
NPV = €−12 375.82
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −5317 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.02)/(1.1))5 = 0.6855
PV = 19 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.6855) = 74 682.51
NPV
NPV = 74 682.51 − 80 000 = −€5 317.49
答案
NPV = −€5 317.49
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: P = 778.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €22.50, i = 0.04, N = 18
票息的现值
€22.50·(1 − 0.4936)/0.04 = €284.83
面值的现值
€1 000·0.4936 = €493.63
价格
P = €778.46
答案
P = €778.46
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.982 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(5%) = €1 154.43, P(6%) = €1 073.60
YTM = 5.982%
答案
YTM = 5.982%
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 11 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111
WACC 中的债务部分
0.1111·6%·(1 − 0.2) = 0.5333%
股权成本
re = (10.31% − 0.5333%)/0.8889 = 11%
答案
re = 11%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.171 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
1048 = 40·(1 − (1 + y)−12)/y + 1000/(1 + y)12
y = 3.503%
市场价值
D = 4 000·€1 048 = €4 192 000
V = €19 192 000, E/V = 0.7816, D/V = 0.2184
WACC
WACC = 0.7816·11% + 0.2184·3.503%·(1 − 0.25) = 9.171%
答案
WACC = 9.171%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 9 − 6 = €3
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (6 000 + 6 000)/3 = 4 000
答案
Q = 4 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 37.5 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 5 000/5 = 1 000
安全边际
MS = (1 600 − 1 000)/1 600·100 = 37.5%
答案
MS = 37.5%
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