货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 6% 的利率连续复利投资 €10 000。求 7 年后的价值 FV。
PV = €10 000r = 6%t = 7
FV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 18 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €100 0002.4% / 12N = 216
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€21 000, €34 000, €24 000, €22 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −75 000CF1 = 21 000CF2 = 34 000CF3 = 24 000CF4 = 22 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €6 000, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 5 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 3.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 5y0 = 3.5%y1 = 5%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，分两次半年支付，12 年后到期。其售价为 €1 243。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6% (2×)n = 12P = €1 243
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 3.9%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.6re = 3.9%rf = 1.5%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €47.00；其股权账面价值为 €94 000 000。公司刚支付了每股 €1.60 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €70 500 000，税前成本为 4%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 5 000 000P0 = €47.00股权账面价值 = €94 000 000D0 = €1.60g = 4%D = €70 500 000rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €38，单位变动成本 €18。每月固定成本为 €30 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？
F = €30 000p = €38v = €18利润 = €5 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €16，单位变动成本 €12，每年固定成本 €8 000。预算销量为 2 600 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €8 000p = €16v = €12预算 = 2 600
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 15220 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.06·7 = 0.42
e0.42 = 1.522
终值
FV = 10 000·1.522 = €15 219.62
答案
FV = €15 219.62
2.货币的时间价值
答案: A = 370.6 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·18 = 216
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0.002/(1.54 − 1) = €370.60
答案
A = €370.60
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 14671 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 21 000/1.05 = 20 000.00
CF2/(1 + 0.05)2 = 34 000/1.103 = 30 839.00
CF3/(1 + 0.05)3 = 24 000/1.158 = 20 732.10
CF4/(1 + 0.05)4 = 22 000/1.216 = 18 099.45
相加
NPV = €14 670.56
答案
NPV = €14 670.56
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 33.87 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 582.61
NPV(35%) = −159.02
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·582.61/(582.61 − (−159.02)) = 33.93%
精确: NPV(33.87%) = 0 → IRR = 33.87%
答案
IRR = 33.87%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = −1.396 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €80.00, i = 0.035, N = 5
€80.00·(1 − 0.842)/0.035 + €1 000·0.842 = €361.20 + €841.97 = €1 203.18
卖出价
C = €80.00, i = 0.05, N = 4
€80.00·(1 − 0.8227)/0.05 + €1 000·0.8227 = €283.68 + €822.70 = €1 106.38
持有期收益率
HPR = (80 + 1 106.38 − 1 203.18)/1 203.18 = −1.396%
答案
HPR = −1.396%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.502 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €30.00, N = 24
数值求解
i = 1.751% 每半年
YTM
YTM = 2·1.751% = 3.502%
答案
YTM = 3.502%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 5.5 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (3.9% − 1.5%)/0.6 = 4%
市场回报
rm = 1.5% + 4% = 5.5%
答案
rm = 5.5%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.493 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 1.6·1.04 = €1.66
re = 1.664/47 + 0.04 = 7.54%
市场价值
E = 5 000 000·€47.00 = €235 000 000
V = €305 500 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·7.54% + 0.2308·4%·(1 − 0.25) = 6.493%
答案
WACC = 6.493%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1750 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 38 − 18 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (30 000 + 5 000)/20 = 1 750
答案
Q = 1 750 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 23.08 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 8 000/4 = 2 000
安全边际
MS = (2 600 − 2 000)/2 600·100 = 23.08%
答案
MS = 23.08%
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