公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €10 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €10 0007.2% / 12N = 48

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000。它在 3 年内每年年末产生 €31 500，之后可以以 €12 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF = €31 500S = €12 000n = 3r = 6%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €6 500, €5 000, €4 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 000CF₃ = 4 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 9%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 10P = €1 075

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 12%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €24.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1%，市场回报率为 6%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1%r_m = 6%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €26，单位变动成本 €6。每月固定成本为 €50 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？

F = €50 000p = €26v = €6利润 = €12 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €18，单位变动成本 €8，每年固定成本 €50 000。预算销量为 9 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €50 000p = €18v = €8预算 = 9 000

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 20.45 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/2 = 0.0975

复利一年

EAR = (1 + 0.0975)² − 1 = 1.205 − 1 = 20.45%

答案

EAR = 20.45%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: I = 1539 €

月供

i = 0.006, N = 48

A = 10 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻⁴⁸) = €240.39

利息总额

I = N·A − P = 48·240.4 − 10 000 = €1 538.79

答案

I = €1 538.79

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 14275 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

31 500·2.673 = 84 199.88

残值的现值

12 000/1.191 = 10 075.43

NPV

NPV = −80 000 + 84 199.88 + 10 075.43 = €14 275.31

答案

NPV = €14 275.31

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 30.05 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 6.83

NPV(35%) = −612.71

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·6.83/(6.83 − (−612.71)) = 30.06%

精确: NPV(30.05%) = 0 → IRR = 30.05%

答案

IRR = 30.05%

5.债券定价与收益率

答案: P = 862.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.045, N = 22

票息的现值

€35.00·(1 − 0.3797)/0.045 = €482.45

面值的现值

€1 000·0.3797 = €379.70

价格

P = €862.16

答案

P = €862.16

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.982 %

收益率方程

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(5%) = €1 154.43, P(6%) = €1 073.60

YTM = 5.982%

答案

YTM = 5.982%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.484 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.5·4%·(1 − 0.258) = 7.484%

答案

WACC = 7.484%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.358 %

市场价值

E = 4 000 000·€24.00 = €96 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.9·5% = 5.5%

权重

V = €100 800 000, E/V = 0.9524, D/V = 0.04762

WACC

WACC = 0.9524·5.5% + 0.04762·3.5%·(1 − 0.28) = 5.358%

答案

WACC = 5.358%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 3100 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 26 − 6 = €20

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (50 000 + 12 000)/20 = 3 100

答案

Q = 3 100 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 44.44 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 50 000/10 = 5 000

安全边际

MS = (9 000 − 5 000)/9 000·100 = 44.44%

答案

MS = 44.44%

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