公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €10 000g = 2%r = 6%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €3 000，共 21 年，第一笔今天存入。账户年利率为 6%。第 21 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €3 000i = 6%n = 21

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €28 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 4%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 500, €11 500, €6 000。项目 B 需投入 €32 000，回报为 €8 000, €12 500, €18 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 17 500, 11 500, 6 000B: −32 000, 8 000, 12 500, 18 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 3 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 3.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3y₀ = 3.5%y₁ = 4%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €919。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 3P = €919

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €37.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €23，单位变动成本 €18。每月固定成本为 €6 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？

F = €6 000p = €23v = €18利润 = €5 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €16 销售 630 件，单位变动成本为 €6，固定成本为每月 €5 000。单位变动成本上涨 €5，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 630p = €16v = €6 → €11F = €5 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 250000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0.06 − 0.02) = 10 000/0.04 = €250 000.00

答案

PV = €250 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 127177 €

普通年金系数

((1 + 0.06)²¹ − 1)/0.06 = 39.99

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 3 000·39.99·1.06 = €127 176.87

答案

FV = €127 176.87

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 60000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 28 000/(0.09 − 0.04) = 560 000.00

NPV

NPV = 560 000.00 − 500 000 = €60 000.00

答案

NPV = €60 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 7.924 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 8 000 − 17 500 = −9 500

ΔCF₂ = 12 500 − 11 500 = 1 000

ΔCF₃ = 18 500 − 6 000 = 12 500

差额的 IRR

NPV_Δ(7%) = 198.66

NPV_Δ(8%) = −16.05

r* = 7.924%

答案

r* = 7.924%

校核：在 7.924% 时两个 NPV 都是 €861.60。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.575 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.035, N = 3

€50.00·(1 − 0.9019)/0.035 + €1 000·0.9019 = €140.08 + €901.94 = €1 042.02

卖出价

C = €50.00, i = 0.04, N = 2

€50.00·(1 − 0.9246)/0.04 + €1 000·0.9246 = €94.30 + €924.56 = €1 018.86

持有期收益率

HPR = (50 + 1 018.86 − 1 042.02)/1 042.02 = 2.575%

答案

HPR = 2.575%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.99 %

每期

C = €15.00, N = 6

数值求解

i = 2.995% 每半年

YTM

YTM = 2·2.995% = 5.99%

答案

YTM = 5.99%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.073 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545

WACC

WACC = 0.5455·14% + 0.4545·4%·(1 − 0.21) = 9.073%

答案

WACC = 9.073%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.41 %

市场价值

E = 2 500 000·€37.50 = €93 750 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·6.5% = 11.75%

权重

V = €98 650 000, E/V = 0.9503, D/V = 0.04967

WACC

WACC = 0.9503·11.75% + 0.04967·7%·(1 − 0.3) = 11.41%

答案

WACC = 11.41%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2200 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 23 − 18 = €5

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (6 000 + 5 000)/5 = 2 200

答案

Q = 2 200 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 1260 件

当前利润

Π = 630·(16 − 6) − 5 000 = €1 300

新的单位边际贡献

16 − 11 = €5

保持相同利润所需的件数

Q = (5 000 + 1 300)/5 = 1 260

答案

Q = 1 260 件

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