货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 8 年后需要 €50 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €50 0002% / 4n = 8
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €150 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在第 23 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €150 0004.2% / 12N = 360k = 276
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€26 000, €29 000, €31 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 26 000CF2 = 29 000CF3 = 31 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €23 000, €14 500, €8 500。项目 B 需投入 €50 000，回报为 €12 500, €19 000, €27 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −40 000, 23 000, 14 500, 8 500B: −50 000, 12 500, 19 000, 27 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 8%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 8%n = 10
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 5 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 5P = €925
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 2 的股票要求回报为 17%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 2re = 17%rf = 3%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 28%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 6.5%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 1.4D/E1 = 0.2D/E2 = 1.5T = 28%rf = 1%rm − rf = 6.5%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €11，单位变动成本为 €6。固定成本为每月 €20 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €6 000？
p = €11v = €6F = €20 000T = 25%税后利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €6 销售 6 000 件，单位变动成本为 €4，固定成本为每月 €8 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 6 000p = €6v = €4 → €5F = €8 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 42624 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·8 = 32
现值
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.173 = €42 624.18
答案
PV = €42 624.18
2.货币的时间价值
答案: B = 53304 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.0035, N = 360
A = 150 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−360) = €733.53
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 360 − 276 = 84
B = 733.5·(1 − (1 + 0.0035)−84)/0.0035 = €53 304.45
答案
B = €53 304.45
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −4106 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 26 000/1.1 = 23 636.36
CF2/(1 + 0.1)2 = 29 000/1.21 = 23 966.94
CF3/(1 + 0.1)3 = 31 000/1.331 = 23 290.76
相加
NPV = €−4 105.94
答案
NPV = €−4 105.94
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 5.143 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 19 000 − 14 500 = 4 500
ΔCF3 = 27 000 − 8 500 = 18 500
差额的 IRR
NPVΔ(5%) = 62.63
NPVΔ(6%) = −367.72
r* = 5.143%
答案
r* = 5.143%
校核：在 5.143% 时两个 NPV 都是 €2 303.82。
5.债券定价与收益率
答案: P = 796.1 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €25.00, i = 0.04, N = 20
票息的现值
€25.00·(1 − 0.4564)/0.04 = €339.76
面值的现值
€1 000·0.4564 = €456.39
价格
P = €796.15
答案
P = €796.15
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 9.977 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(9%) = €961.10, P(10%) = €924.18
YTM = 9.977%
答案
YTM = 9.977%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 10 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (17% − 3%)/2 = 7%
市场回报
rm = 3% + 7% = 10%
答案
rm = 10%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 17.55 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 1.4/(1 + 0.72·0.2) = 1.224
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 1.224·(1 + 0.72·1.5) = 2.545
股权成本（CAPM）
re = 1% + 2.545·6.5% = 17.55%
答案
re = 17.55%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5600 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
6 000/(1 − 0.25) = €8 000
所需销量
Q = (20 000 + 8 000)/5 = 5 600
答案
Q = 5 600 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 12000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 6 000·(6 − 4) − 8 000 = €4 000
新的单位边际贡献
6 − 5 = €1
保持相同利润所需的件数
Q = (8 000 + 4 000)/1 = 12 000
答案
Q = 12 000 件
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