货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。
PV = €5 0004.8% / 4n = 3
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €2 000，共 14 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 14 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €2 000i = 4%n = 14
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €20 000，使用 5 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €20 000M = €1 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €10 000, €6 500, €8 500, €8 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 6 500CF3 = 8 500CF4 = 8 000
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 8 年的债券（面值 €1 000，年票息 4%）到期收益率为 7% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4%n = 8y0 = 7%y1 = 6%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 040。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €1 040
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 20%。求 WACC。
E = €10 000 000Ps = €2 000 000D = €2 000 000re = 12%rp = 6.5%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有1 000 000 股、每股 €33.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。
β = 0.8rf = 3%rm = 8.5%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €26 的价格销售 2 250 件。单位变动成本为 €6，固定成本为 €30 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 2 250p = €26v = €6F = €30 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €16，变动成本 €12；产品 B 售价 €38，变动成本 €30。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €7 200。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。
pA = €16, vA = €12pB = €38, vB = €30A : B = 5 : 2F = €7 200
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 5769 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·3 = 12
终值
FV = 5 000·(1 + 0.012)12 = 5 000·1.154 = €5 769.47
答案
FV = €5 769.47
2.货币的时间价值
答案: FV = 38047 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.04)14 − 1)/0.04 = 18.29
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 2 000·18.29·1.04 = €38 047.18
答案
FV = €38 047.18
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 5748 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.06−5)/0.06 = 4.212
年化购置价格
20 000/4.212 = 4 747.93
EAC
EAC = 4 747.93 + 1 000 = €5 747.93
答案
EAC = €5 747.93
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 17.81 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
10 000·1.13 = 13 310.00
6 500·1.12 = 7 865.00
8 500·1.11 = 9 350.00
8 000·1.10 = 8 000.00
TV = 38 525.00
MIRR
MIRR = (38 525.00/20 000)1/4 − 1 = 17.81%
答案
MIRR = 17.81%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = 13.09 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €40.00, i = 0.07, N = 8
€40.00·(1 − 0.582)/0.07 + €1 000·0.582 = €238.85 + €582.01 = €820.86
卖出价
C = €40.00, i = 0.06, N = 7
€40.00·(1 − 0.6651)/0.06 + €1 000·0.6651 = €223.30 + €665.06 = €888.35
持有期收益率
HPR = (40 + 888.35 − 820.86)/820.86 = 13.09%
答案
HPR = 13.09%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 1.951 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 040 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数值求解
P(1%) = €1 078.04, P(2%) = €1 038.08
YTM = 1.951%
答案
YTM = 1.951%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.01 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 10 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €14 000 000
E/V = 0.7143, Ps/V = 0.1429, D/V = 0.1429
WACC
WACC = 0.7143·12% + 0.1429·6.5% + 0.1429·4.5%·(1 − 0.2) = 10.01%
答案
WACC = 10.01%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.45 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 1 000 000·€33.00 = €33 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
股权成本（CAPM）
re = 3% + 0.8·5.5% = 7.4%
权重
V = €43 200 000, E/V = 0.7639, D/V = 0.2361
WACC
WACC = 0.7639·7.4% + 0.2361·4.5%·(1 − 0.25) = 6.45%
答案
WACC = 6.45%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 3
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 2 250·(26 − 6) = €45 000
营业利润
Π = 45 000 − 30 000 = €15 000
DOL
DOL = 45 000/15 000 = 3
答案
DOL = 3
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 1400 件
有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。
边际贡献
cmA = €4, cmB = €8
加权边际贡献
(5·4 + 2·8)/7 = €5.14
盈亏平衡件数
Q = 7 200/5.143 = 1 400
A: 1 000, B: 400
答案
Q = 1 400 件
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