公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €20 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0002% / 12n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0007.2% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€16 000, €16 000, €24 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 16 000CF₂ = 16 000CF₃ = 24 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €20 000，之后每年增长 4%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €20 000g = 4%n = 9r = 8%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 6 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 303。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 6P = €1 303YTM = 2.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €975。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €975

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 20%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.25D/E₂ = 1.25T = 20%r_f = 1%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €20 000，单位变动成本为 €20。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €23 000，单位变动成本为 €18。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €20 000v_A = €20F_B = €23 000v_B = €18

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €11，单位变动成本 €8，每年固定成本 €2 400。预算销量为 1 120 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €2 400p = €11v = €8预算 = 1 120

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 17045 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·8 = 96

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.173 = €17 045.15

答案

PV = €17 045.15

2.货币的时间价值

答案: A = 774.2 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8063

A = 25 000·0.006/(1 − 0.8063) = €774.22

答案

A = €774.22

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −29200 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 16 000/1.1 = 14 545.45

CF₂/(1 + 0.1)² = 16 000/1.21 = 13 223.14

CF₃/(1 + 0.1)³ = 24 000/1.331 = 18 031.56

相加

NPV = €−29 199.85

答案

NPV = €−29 199.85

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6005 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁹ = 0.712

PV = 20 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.712) = 143 994.87

NPV

NPV = 143 994.87 − 150 000 = −€6 005.13

答案

NPV = −€6 005.13

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: c = 8.001 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻⁶ = €862.30

票息

C = (1303 − 862.30)/5.508 = €80.01

票面利率

c = 80.01/1000 = 8.001%

答案

c = 8.001%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.934 %

收益率方程

€975 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(5%) = €1 000.00, P(6%) = €973.27

YTM = 5.934%

答案

YTM = 5.934%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.04 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·12% + 0.1111·4.5%·(1 − 0.25) = 11.04%

答案

WACC = 11.04%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 16.17 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.3/(1 + 0.8·0.25) = 1.083

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.083·(1 + 0.8·1.25) = 2.167

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 2.167·7% = 16.17%

答案

r_e = 16.17%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

20 000 + 20Q = 23 000 + 18Q

求 Q

Q = (23 000 − 20 000)/(20 − 18) = 1 500

答案

Q = 1 500 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 28.57 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 2 400/3 = 800

安全边际

MS = (1 120 − 800)/1 120·100 = 28.57%

答案

MS = 28.57%

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