货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €12 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 8%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €12 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €30 000 的贷款在 5 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €30 0006% / 12N = 60
I = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €8 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €15 000, €12 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 12 000CF3 = 14 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，4 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 7%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 2%n = 4y1 = 6%y2 = 7%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 4P = €1 075
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求 WACC。
E = €4 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €53.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。
β = 0.9rf = 1.5%rm = 7%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €30 000，单位变动成本为 €25。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €34 000，单位变动成本为 €23。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €30 000vA = €25FB = €34 000vB = €23
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €16 销售 2 250 件，单位变动成本为 €8，固定成本为每月 €12 000。单位变动成本上涨 €2，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 2 250p = €16v = €8 → €10F = €12 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 240000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.08 − 0.03) = 12 000/0.05 = €240 000.00
答案
PV = €240 000.00
2.货币的时间价值
答案: I = 4799 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.005, N = 60
A = 30 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−60) = €579.98
利息总额
I = N·A − P = 60·580 − 30 000 = €4 799.04
答案
I = €4 799.04
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −20000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 8 000/(0.12 − 0.02) = 80 000.00
NPV
NPV = 80 000.00 − 100 000 = −€20 000.00
答案
NPV = −€20 000.00
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 30.69 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 238.96
NPV(35%) = −1 411.12
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·238.96/(238.96 − (−1 411.12)) = 30.72%
精确: NPV(30.69%) = 0 → IRR = 30.69%
答案
IRR = 30.69%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −30.76 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.06, N = 4
€20.00·(1 − 0.7921)/0.06 + €1 000·0.7921 = €69.30 + €792.09 = €861.40
按新收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.07, N = 4
€20.00·(1 − 0.7629)/0.07 + €1 000·0.7629 = €67.74 + €762.90 = €830.64
变化
ΔP = 830.64 − 861.40 = −€30.76
答案
ΔP = −€30.76
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.937 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数值求解
P(3%) = €1 111.51, P(4%) = €1 072.60
YTM = 3.937%
答案
YTM = 3.937%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.44 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·9% + 0.3333·6%·(1 − 0.28) = 7.44%
答案
WACC = 7.44%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.203 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€53.50 = €107 000 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 0.9·5.5% = 6.45%
权重
V = €146 200 000, E/V = 0.7319, D/V = 0.2681
WACC
WACC = 0.7319·6.45% + 0.2681·7%·(1 − 0.21) = 6.203%
答案
WACC = 6.203%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
30 000 + 25Q = 34 000 + 23Q
求 Q
Q = (34 000 − 30 000)/(25 − 23) = 2 000
答案
Q = 2 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 3000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 2 250·(16 − 8) − 12 000 = €6 000
新的单位边际贡献
16 − 10 = €6
保持相同利润所需的件数
Q = (12 000 + 6 000)/6 = 3 000
答案
Q = 3 000 件
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