公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €2 000。求 18 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 6%t = 18

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 4 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0007.2% / 12N = 240k = 48

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000，使用 5 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €50 000M = €5 000n = 5r = 6%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €30 000, €36 000, €30 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 36 000CF₃ = 30 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 3 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 2.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 3y₀ = 2.5%y₁ = 4%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 10P = €1 075

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 20%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.5T = 20%r_f = 1.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €30，单位变动成本 €20。每月固定成本为 €12 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？

F = €12 000p = €30v = €20利润 = €12 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €15，变动成本 €10；产品 B 售价 €35，变动成本 €20。两者按固定组合销售，每销售 3 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €27 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €15, v_A = €10p_B = €35, v_B = €20A : B = 3 : 2F = €27 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 5889 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·18 = 1.08

e^1.08 = 2.945

终值

FV = 2 000·2.945 = €5 889.36

答案

FV = €5 889.36

2.货币的时间价值

答案: B = 179229 €

月供

i = 0.006, N = 240

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €1 574.70

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 48 = 192

B = 1575·(1 − (1 + 0.006)⁻¹⁹²)/0.006 = €179 228.58

答案

B = €179 228.58

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 16870 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.06⁻⁵)/0.06 = 4.212

年化购置价格

50 000/4.212 = 11 869.82

EAC

EAC = 11 869.82 + 5 000 = €16 869.82

答案

EAC = €16 869.82

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 41.42 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 911.08

NPV(45%) = −2 183.36

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·911.08/(911.08 − (−2 183.36)) = 41.47%

精确: NPV(41.42%) = 0 → IRR = 41.42%

答案

IRR = 41.42%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −0.3097 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.025, N = 3

€30.00·(1 − 0.9286)/0.025 + €1 000·0.9286 = €85.68 + €928.60 = €1 014.28

卖出价

C = €30.00, i = 0.04, N = 2

€30.00·(1 − 0.9246)/0.04 + €1 000·0.9246 = €56.58 + €924.56 = €981.14

持有期收益率

HPR = (30 + 981.14 − 1 014.28)/1 014.28 = −0.3097%

答案

HPR = −0.3097%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.027 %

收益率方程

€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(5%) = €1 077.22, P(6%) = €1 000.00

YTM = 5.027%

答案

YTM = 5.027%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·14% + 0.25·5%·(1 − 0.2) = 11.5%

答案

WACC = 11.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 12.33 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.3/(1 + 0.8·0.4) = 0.9848

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9848·(1 + 0.8·1.5) = 2.167

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 2.167·5% = 12.33%

答案

r_e = 12.33%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2400 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 30 − 20 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (12 000 + 12 000)/10 = 2 400

答案

Q = 2 400 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 3000 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €5, cm_B = €15

加权边际贡献

(3·5 + 2·15)/5 = €9.00

盈亏平衡件数

Q = 27 000/9 = 3 000

A: 1 800, B: 1 200

答案

Q = 3 000 件

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