公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 25%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 25%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你希望在 12 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 5.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0005.4% / 12N = 144

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€11 000, €18 000, €19 000, €20 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 18 000CF₃ = 19 000CF₄ = 20 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 500, €11 500, €8 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 11 500CF₃ = 8 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 4y₀ = 4%y₁ = 5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 19 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 263。发行人可在 3 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 263赎回价格 = €1 060赎回时间 3 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 9.17%，税前债务成本为 6%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 9.17%r_d = 6%T = 30%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 11 年），每张交易价格为 €962。税率为 20%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 10%债券: 5 000 × €962票面利率 = 6%n = 11T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €23，单位变动成本为 €15。固定成本为每月 €12 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €6 000？

p = €23v = €15F = €12 000T = 25%税后利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €14 销售 3 750 件，单位变动成本为 €8，固定成本为每月 €9 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 3 750p = €14v = €8 → €9F = €9 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 26.56 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.25/2 = 0.125

复利一年

EAR = (1 + 0.125)² − 1 = 1.266 − 1 = 26.56%

答案

EAR = 26.56%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 371.3 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·12 = 144

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.0045/(1.909 − 1) = €371.31

答案

A = €371.31

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10401 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 11 000/1.08 = 10 185.19

CF₂/(1 + 0.08)² = 18 000/1.166 = 15 432.10

CF₃/(1 + 0.08)³ = 19 000/1.26 = 15 082.81

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 20 000/1.36 = 14 700.60

相加

NPV = €10 400.69

答案

NPV = €10 400.69

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 37.07 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 505.51

NPV(40%) = −677.84

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·505.51/(505.51 − (−677.84)) = 37.14%

精确: NPV(37.07%) = 0 → IRR = 37.07%

答案

IRR = 37.07%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 1.441 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €80.00, i = 0.04, N = 4

€80.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €290.39 + €854.80 = €1 145.20

卖出价

C = €80.00, i = 0.05, N = 3

€80.00·(1 − 0.8638)/0.05 + €1 000·0.8638 = €217.86 + €863.84 = €1 081.70

持有期收益率

HPR = (80 + 1 081.70 − 1 145.20)/1 145.20 = 1.441%

答案

HPR = 1.441%

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 50 %

收益率方程

1263 = 60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1060/(1 + y)³

数值求解

y = 50%: €398.52

YTC = 50%

答案

YTC = 50%

到期收益率为 3.998%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.998 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC 中的债务部分

0.1429·6%·(1 − 0.3) = 0.6%

股权成本

r_e = (9.17% − 0.6%)/0.8571 = 9.998%

答案

r_e = 9.998%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.44 %

债务成本 (YTM)

962 = 60·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 6.494%

市场价值

D = 5 000·€962 = €4 810 000

V = €14 810 000, E/V = 0.6752, D/V = 0.3248

WACC

WACC = 0.6752·10% + 0.3248·6.494%·(1 − 0.2) = 8.44%

答案

WACC = 8.44%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

6 000/(1 − 0.25) = €8 000

所需销量

Q = (12 000 + 8 000)/8 = 2 500

答案

Q = 2 500 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 4500 件

当前利润

Π = 3 750·(14 − 8) − 9 000 = €13 500

新的单位边际贡献

14 − 9 = €5

保持相同利润所需的件数

Q = (9 000 + 13 500)/5 = 4 500

答案

Q = 4 500 件

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