货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 8 年后需要 €5 000。某账户年利率 4%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €5 0004% / 4n = 8
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 3% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €200。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €8 000A = €2003% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €15 000, €14 000, €12 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 7 000CF2 = 15 000CF3 = 14 000CF4 = 12 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 2%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €150 000CF1 = €22 500g = 2%n = 8r = 8%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 3.5%n = 9
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）售价 €1 219。发行人可在 6 年后以 €1 050 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%P = €1 219赎回价格 = €1 050赎回时间 6 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 1.6 的股票要求回报为 12.3%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 1.6re = 12.3%rf = 3.5%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 20%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 re。
βU = 0.6D/E = 1T = 20%rf = 3%rm − rf = 6%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €10。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €35 000，单位变动成本为 €6。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €15 000vA = €10FB = €35 000vB = €6
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €33，单位变动成本 €25，每年固定成本 €32 000。预算销量为 4 600 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €32 000p = €33v = €25预算 = 4 600
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 3637 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.04/4 = 0.01
N = 4·8 = 32
现值
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.375 = €3 636.52
答案
PV = €3 636.52
2.货币的时间价值
答案: N = 43 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.0025
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0.0025/200 = 0.9
用对数求解
N = −ln(0.9)/ln(1.002) = 42.2
向上取整到整次还款
42 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 43
答案
N = 43 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 11214 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 7 000/1.06 = 6 603.77
CF2/(1 + 0.06)2 = 15 000/1.124 = 13 349.95
CF3/(1 + 0.06)3 = 14 000/1.191 = 11 754.67
CF4/(1 + 0.06)4 = 12 000/1.262 = 9 505.12
相加
NPV = €11 213.51
答案
NPV = €11 213.51
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −12379 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.02)/(1.08))8 = 0.633
PV = 22 500/(0.08 − 0.02)·(1 − 0.633) = 137 620.83
NPV
NPV = 137 620.83 − 150 000 = −€12 379.17
答案
NPV = −€12 379.17
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: P = 961.7 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, i = 0.0175, N = 18
票息的现值
€15.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €229.90
面值的现值
€1 000·0.7318 = €731.78
价格
P = €961.68
答案
P = €961.68
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 1.898 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1219 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
数值求解
y = 1%: €1 278.92
y = 2%: €1 212.44
YTC = 1.898%
答案
YTC = 1.898%
到期收益率为 2.498%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 9 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (12.3% − 3.5%)/1.6 = 5.5%
市场回报
rm = 3.5% + 5.5% = 9%
答案
rm = 9%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 9.48 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
有杠杆贝塔
βL = 0.6·(1 + 0.8·1) = 1.08
股权成本（CAPM）
re = 3% + 1.08·6% = 9.48%
答案
re = 9.48%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
15 000 + 10Q = 35 000 + 6Q
求 Q
Q = (35 000 − 15 000)/(10 − 6) = 5 000
答案
Q = 5 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 13.04 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 32 000/8 = 4 000
安全边际
MS = (4 600 − 4 000)/4 600·100 = 13.04%
答案
MS = 13.04%
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