货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €2 000，共 20 年。年利率为 10%。求该年金的现值 PV。
A = €2 000i = 10%n = 20
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €12 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。
P = €12 0004.8% / 12N = 36
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€37 000, €30 000, €29 000, €28 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
r = 9%CF0 = −75 000CF1 = 37 000CF2 = 30 000CF3 = 29 000CF4 = 28 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €16 500, €11 500, €6 500。项目 B 需投入 €32 000，回报为 €8 500, €12 000, €17 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −30 000, 16 500, 11 500, 6 500B: −32 000, 8 500, 12 000, 17 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 8%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 3%n = 6y1 = 6%y2 = 8%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 6 年后到期，售价为 €905。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 6P = €905
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €6 000 000re = 11%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €42.00；其股权账面价值为 €84 000 000。公司刚支付了每股 €1.30 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €126 000 000，税前成本为 5%。税率为 21%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 5 000 000P0 = €42.00股权账面价值 = €84 000 000D0 = €1.30g = 3%D = €126 000 000rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €50，单位变动成本 €30。每月固定成本为 €40 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €10 000？
F = €40 000p = €50v = €30利润 = €10 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €30，单位变动成本 €18，每年固定成本 €48 000。预算销量为 5 200 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €48 000p = €30v = €18预算 = 5 200
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 17027 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.1486)/0.1 = 8.514
现值
PV = 2 000·8.514 = €17 027.13
答案
PV = €17 027.13
2.货币的时间价值
答案: A = 358.6 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·3 = 36
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.8661
A = 12 000·0.004/(1 − 0.8661) = €358.57
答案
A = €358.57
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 26425 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 37 000/1.09 = 33 944.95
CF2/(1 + 0.09)2 = 30 000/1.188 = 25 250.40
CF3/(1 + 0.09)3 = 29 000/1.295 = 22 393.32
CF4/(1 + 0.09)4 = 28 000/1.412 = 19 835.91
相加
NPV = €26 424.58
答案
NPV = €26 424.58
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 4.517 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 8 500 − 16 500 = −8 000
ΔCF2 = 12 000 − 11 500 = 500
ΔCF3 = 17 000 − 6 500 = 10 500
差额的 IRR
NPVΔ(4%) = 104.43
NPVΔ(5%) = −95.24
r* = 4.517%
答案
r* = 4.517%
校核：在 4.517% 时两个 NPV 都是 €2 007.31。
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −83.62 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.06, N = 6
€30.00·(1 − 0.705)/0.06 + €1 000·0.705 = €147.52 + €704.96 = €852.48
按新收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.08, N = 6
€30.00·(1 − 0.6302)/0.08 + €1 000·0.6302 = €138.69 + €630.17 = €768.86
变化
ΔP = 768.86 − 852.48 = −€83.62
答案
ΔP = −€83.62
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.993 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€905 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数值求解
P(6%) = €950.83, P(7%) = €904.67
YTM = 6.993%
答案
YTM = 6.993%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.343 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €14 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·11% + 0.4286·6%·(1 − 0.2) = 8.343%
答案
WACC = 8.343%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.349 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 1.3·1.03 = €1.34
re = 1.339/42 + 0.03 = 6.188%
市场价值
E = 5 000 000·€42.00 = €210 000 000
V = €336 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·6.188% + 0.375·5%·(1 − 0.21) = 5.349%
答案
WACC = 5.349%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 50 − 30 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (40 000 + 10 000)/20 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 23.08 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 48 000/12 = 4 000
安全边际
MS = (5 200 − 4 000)/5 200·100 = 23.08%
答案
MS = 23.08%
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