货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一张信用卡的名义年利率为 18%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。
r = 18%m = 365
EAR = %
2.货币的时间价值困难
一笔 €300 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 5.4%，按月复利。在第 8 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €300 0005.4% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €60 000。它在 6 年内每年年末产生 €11 000，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
C0 = €60 000CF = €11 000S = €6 000n = 6r = 6%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €28 500, €14 500, €16 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 28 500CF2 = 14 500CF3 = 16 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 7.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 2%n = 12y1 = 6%y2 = 7.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 040。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 25.8%。求 WACC。
E = €12 000 000Ps = €2 000 000D = €2 000 000re = 14%rp = 7.5%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有4 000 000 股、每股 €51.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。
β = 1.2rf = 3%rm = 8.5%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €17，单位变动成本 €12。每月固定成本为 €12 500。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €5 000？
F = €12 500p = €17v = €12利润 = €5 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司以每件 €20 销售 1 500 件，单位变动成本为 €15，固定成本为 €6 000。如果销量增加 5%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？
Q = 1 500p = €20v = €15F = €6 000%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: EAR = 19.72 %
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
每期利率
r/m = 0.18/365 = 0.0004932
复利一年
EAR = (1 + 0.0004932)365 − 1 = 1.197 − 1 = 19.72%
答案
EAR = 19.72%
当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。
2.货币的时间价值
答案: B = 216569 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.0045, N = 240
A = 300 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−240) = €2 046.75
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 240 − 96 = 144
B = 2047·(1 − (1 + 0.0045)−144)/0.0045 = €216 568.55
答案
B = €216 568.55
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −1680 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
11 000·4.917 = 54 090.57
残值的现值
6 000/1.419 = 4 229.76
NPV
NPV = −60 000 + 54 090.57 + 4 229.76 = −€1 679.67
答案
NPV = −€1 679.67
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 25.52 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(25%) = 272.00
NPV(30%) = −2 214.38
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 25 + 5·272.00/(272.00 − (−2 214.38)) = 25.55%
精确: NPV(25.52%) = 0 → IRR = 25.52%
答案
IRR = 25.52%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −90.09 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.06, N = 12
€20.00·(1 − 0.497)/0.06 + €1 000·0.497 = €167.68 + €496.97 = €664.65
按新收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.075, N = 12
€20.00·(1 − 0.4199)/0.075 + €1 000·0.4199 = €154.71 + €419.85 = €574.56
变化
ΔP = 574.56 − 664.65 = −€90.09
答案
ΔP = −€90.09
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.049 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(6%) = €1 042.12, P(7%) = €1 000.00
YTM = 6.049%
答案
YTM = 6.049%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 11.85 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 12 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €16 000 000
E/V = 0.75, Ps/V = 0.125, D/V = 0.125
WACC
WACC = 0.75·14% + 0.125·7.5% + 0.125·4.5%·(1 − 0.258) = 11.85%
答案
WACC = 11.85%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.469 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 4 000 000·€51.50 = €206 000 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
股权成本（CAPM）
re = 3% + 1.2·5.5% = 9.6%
权重
V = €211 250 000, E/V = 0.9751, D/V = 0.02485
WACC
WACC = 0.9751·9.6% + 0.02485·6%·(1 − 0.28) = 9.469%
答案
WACC = 9.469%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 3500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 17 − 12 = €5
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (12 500 + 5 000)/5 = 3 500
答案
Q = 3 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: %ΔΠ = 25 %
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献和利润
CM = 1 500·5 = €7 500
Π = 7 500 − 6 000 = €1 500
DOL
DOL = 7 500/1 500 = 5
利润的变化
%ΔΠ = 5·(+5%) = +25%
答案
%ΔΠ = +25%
校核：新利润 = 1 575·5 − 6 000 = €1 875.00。
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance